精品解析：广东省佛山市顺德区2020-2021学年高一下学期竞赛数学试题

顺德区高一数学竞赛试题 考试时间：2021年5月29日8：30—10：00 一､填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有__________个. 2. 设复数满足，则__________. 3. 若直线与函数图像交于两点，且中点的坐标为，则__________. 4. 已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则__________. 5. 设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是______. 6. 在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为__________平方米. 7. __________. 8. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为__________. 二､解答题（本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9. 设实数，函数. （1）若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； （2）若在上有且仅有2个零点，求取值范围. 10. 如图，在正方体中，分别为棱中点. （1）请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明） （2）请求出截面分正方体上下两部分体积之比. 11. 如图，在平面四边形中，为正三角形，设的中点为. （1）求证：面积为定值，并求出该值； （2）求的正切值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺德区高一数学竞赛试题 考试时间：2021年5月29日8：30—10：00 一､填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有__________个. 【答案】14 【解析】 【分析】集合中的元素是的所有子集构成的，解题时不要漏掉空集和本身. 【详解】因为集合，共个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故答案是：. 2. 设复数满足，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，再根据模长公式求解即可得答案. 【详解】设，则，于是， 解得，则. 故答案为：. 3. 若直线与函数的图像交于两点，且中点的坐标为，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】设，利用中点坐标公式，得，且，求解即可. 【详解】设，则，且 ，即 故答案：0. 4. 已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用基底表示向量，表示方法唯一，两个向量前面的系数相等，从而得到二元一次方程组，求解即可. 【详解】由三点共线，得：， 又， 所以有，解得. 故答案为：. 5. 设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可. 【详解】令. 因为对任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集， 所以，即，解得，即的取值范围是. 故答案为： 6. 在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为__________平方米. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据直角三角形的边角关系、余弦定理结合基本不等式即可得所求. 【详解】设，则，连接， 于是在中，由余弦定理， 从而，当且仅当，即时取等号. 所以该矩形面积的最大值为平方米. 故答案为：. 7 __________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据降幂公式、余弦两角和与差公式化简求值即可得答案. 【详解】 故答案为：. 8. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】内切球的半径可利用等体积法进行求解. 【详解】设该三棱锥的体积为，表面积为，内切球的半径为，球心为， 则，且，则， ∵三棱锥的三条侧棱两两垂直，且， ∴， ∴， 又，∴， ∴, 又，， ， ∴， ∴由，得，因此. 故答案为：. 二､解答题（本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9. 设实数，函数. （1）若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； （2）若在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值，最小值1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，由周期求出，再利用正弦函数性质求出最值即得. （2）由（1）的信息，求在上使成立的值仅只两个的的范围. 【小问1详解】 依题意，， 由的最小正周期是，得，解得，于是， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以的最大值为，最小值为1. 【小问2详解】