5.3.2&5.3.3 极大值与极小值、最大值与最小值（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

5.3.2&5.3.3 极大值与极小值、最大值与最小值 一、导数的极值 1、极值的概念：极大值与极小值统称为极值 （1）函数的极大值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点， 都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点． （2）函数的极小值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点， 都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点． 2、极值与导数的关系 如图（1），若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0，在x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0. 如图（2），若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0；在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0. 综合以上情形，可以得到： 若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值． 若f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值； 若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值． 【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． 不可导的点可能是极值点也可能不是极值点． 例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点． ②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点． ③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点． （2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． （3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． （5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． 3、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数f′(x)； （2）求方程f′(x)＝0的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化． ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； ②如果由负变正，则f(x0)是极小值． ③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点． 题型一 导函数图象与极值的关系 【例1】（2023·北京怀柔·高二统考期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【变式1-1】（（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．有三个极值点 B．为函数的极大值 C．有一个极大值 D．为的极小值 【变式1-2】（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数在区间上单调递减 B．是函数的极小值点 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【变式1-3】（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）（多选）已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）    A． B．函数在区间上单调递减 C．当时，函数取得极小值 D．当时，函数取得极小值 题型二 求函数极值与极值点 【例2】（2023·海南儋州·高二校考期末）函数的极小值为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【变式2-1】（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）已知函数，那么的极大值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知函数，则的极值点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D