精品解析：广东省惠州市博罗县博师高级中学2023—2024学年高二上学期期末模拟考质量检测数学试题

博罗县博师高级中学2023—2024学年度第一学期期末模拟考质量检测 高二数学试题（2023.12） 一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 3. 棱长为正四面体中，则等于（ ） A B. C. D. 4. 已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A B. C. D. 6. 直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②不是等方差数列；③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①③ D. ①④ 二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ） A. 为等差数列 B. C. 最小值为 D. 为单调递增数列 10. 已知空间中，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. D. 平面一个法向量是 11. 已知曲线，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 C. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则是两条直线 12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ） A. 椭圆长轴长为 B. 的周长为 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 三、填空题：本题共4小题． 13. 抛物线的焦点坐标为__________． 14. 已知双曲线经过点，则离心率为__________. 15. 已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程__________.（写出一个正确答案即可） 16. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点， （1）求证： （2）求EF与CG所成角的余弦值. 19. 已知，，为平面内的一个动点，且满足. （1）求点的轨迹方程； （2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度. 20. 某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响． （1）一个游戏者只摸2次就中奖的概率； （2）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，求他摸球4次的概率． 21. 如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 22. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由． 第1