1.4.2 一元二次不等式及其解法教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第1章 预备知识 一元二次函数与一元二次不等式 1.4.2 一元二次不等式及其解法 教学目标 1. 理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念. 2. 理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系. 3. 熟练掌握一元二次不等式的两种解法. 教学重难点 重点:一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系;一元二次不等式的解法. 难点:一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系. 教学过程 一、新课导入 情境问题:汽车在行驶过程中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,一般称这段距离为“刹车距".刹车距s(单位:m)与车速x(单位:)之间具有确定的一元二次函数关系,不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据. 例如:甲、乙两辆汽车相向而行,由于突发情况,两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距超过12m,但不足15m,乙车的刹车距超过11m,但不足12m已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下: , . 车速超过40 km/h属于违章.试问:哪一辆车违章超速行驶? 分析:根据题意,可以分别建立关于甲车和乙车的两个不等式和,解出实数x的取值范围,即可确认辆车的实际行驶速度是否违章. 一元二次不等式在生活中的应用很广泛,同时它在高中数学学习中也很常见很重要,因此,今天我们要更加深入地学习一元二次不等式. 设计意图:经历数学抽象的过程,结合生活实际,引出一元二次不等式概念和一元二次不等式求解问题. 二、新知探究 探究一:一元二次不等式的概念. 思考:一元一次不等式的定义,归纳一元二次不等式定义. 知识点: 1.定义:一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式. 2.一般形式:、、、,其中均为常数. 3.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 探究二:一元二次不等式的求解方法.以求解不等式为例. 分析:类比求解一元一次不等式解集的方法,我们可以先画出一元二次函数的图象并观察,找到图象与x轴的交点,再求不等式的解集. 解:作出一元二次函数的图象如下, (1)图象与x轴交点的坐标为,该坐标与方程的解的关系:交点的横坐标即为方程的根. (2)当x取-1或3时,;当时,;当时,. (3)由图象写出:不等式的解集为;不等式的解集为. 故不等式的解集为. 探究三:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系? 分析:如下表所示 方程 方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根= 无实数根 y 一元二次函数的图象 y O x y O x O x 不等式的解集 R 不等式的解集 小结:一元二次不等式的解法与步骤(常用方法): (1)图象法.第一,化不等式为标准形式或;第二,求方程的根,并画出对应的函数大致图象;第三,由图象得出不等式的解集. (2)代数法.将所给的不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解.当时,若,则可得;若,则可得.口诀:大于取两边,小于取中间. 注意:对于时的一元二次不等式,可以直接类比时的求解思路;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解. 设计意图:让学生学会通过归纳得出概念,经历数学抽象的过程,并在概念中准确的找到关键词,加深对概念的来理解.通过对一元二次函数和方程间关系的回顾,为用函数图象分析一元二次不等式做铺垫,最后通过师生互动将三个二次之间的关系呈现出来,让学生更加深刻理解. 三、应用举例 例1: 求不等式的解集. 解:因为方程的, 所以该方程有两个相等的实数根,, 作出一元二次函数的图象(如右图), 可知该函数图象为向上开口的抛物线,且与x轴仅有一个交点. 观察图象可得原不等式的解集为. 例2:求不等式的解集. 解法1:因为方程的, 所以该方程有两个不相等的实数根,解得. 画出一元二次函数的图象(如右图所示) 可知函数图象为向上开口的抛物线, 且与x轴有两个交点和. 观察图象可得原不等式的解集为. 解法2:因为方程的,所以 该方程有两个不相等的实数根,解得.因此, .所以原不等式可以转化为. 即 或 所以原不等式的解集为. 想一想:根据不等式的解集,如何快速得出不等式的解集? 答案:根据函数图象,可以清楚地发现不等式的解集是不等式的解集的补集,即的解集为. 例3:求关于的不等式的解集,其中a是常数. 解:依题意知方程的实数根为,且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线. (1)当时,如下图,一元二次函数的图象与x轴从左至右 有两个交点和,所以原不等式的解集为. (2)当a 时,函数图象(如下图所示),一元二次函数的图象与x轴只有一个交点(,0),所以原不等式的解集为. (3)当时,函数图象(如下图所示),一元二次函数的图象与x轴交点从左至右为和,所以原不等式的解集为. 综上