1.3.2 基本不等式（1）教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 1.3.2基本不等式（1） · 教学目标 1. 理解基本不等式的定义、证明过程及其几何解释. 2. 理解算术平均值、几何平均值的定义. 3. 会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式. 4. 会用基本不等式证明不等式，并解决简单问题. 5. 能体会数形结合思想的应用，强化逻辑推理和运算推理素养的培养. · 教学重难点 · 重点：掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释；用基本不等式证明不等式． 难点：会用基本不等式证明不等式，并解决简单问题． · 教学过程 · 一、新课导入 情境导入：某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量和，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算. 顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?你能帮助他解决这个问题吗？ 分析：设天平的两臂长分别为，项链真实重量为， 根据力学原理有， 将上述两个等式的两边分别相乘得，所以， 转化为比较，的大小，将实际问题转化成了代数问题. 二、新知探究 思考：我们要寻求的是与两个代数式的大小关系，而在初中，我们学过大量的代数恒等式，如平方差公式、完全平方公式，我们能不能找到一些恒成立的代数不等式呢？ 答：(1)|𝑎|⩾0:绝对值非负;(2)⩾0:算术平方根非负;(3):平方非负． 称作重要不等式. 想一想：代数和几何联系是密切的，我们能否从几何角度解释重要不等式呢？ “”当且仅当时成立. 代数解释： 任何两实数的平方和不小于它们积的2倍． 探究：我们的目的是比较与，能否借助重要不等式得到呢？ 答：重要不等式可以变形为，与结构相近，用替换 “=”当且仅当𝑎=𝑏时成立. 从而表明，情境中，项链的真实重量不会超过两次称重的平均值.顾客可以投诉金店. 基本不等式 如果．当且仅当时，等号成立. 这个不等式称为基本不等式.其中称为的算术平均值，称为的几何平均值.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 变形： 问题1：前面，我们从几何角度解释了重要不等式，那么是否依然能从几何角度解释基本不等式呢？ 答：如下图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作垂直于的垂线交弧于，连接， ，利用三角形相似，可得，所以. 当且仅当点与圆心结合，等号成立.故可以解释为：半弦不长于半径. 思考：实际上，同一个代数关系，可能可以给出多个几何解释．对于基本不等式，我们还能找出别的几何解释吗？ 直角三角形中，斜边上的高不长于斜边中线；圆外一点向圆引切线，切线长不大于该点到圆心的距离． 问题2：一个数学本质，可能既有代数的解释，也有几何的解释．有时候，我们可以利用一些几何图形，推出一些有意思的不等式．请同学们构造图形，给出一些不等式结论． 答：从图可得，，， ，，，．， 平方平均值，叫作调和平均值. 实际上，由图得到的不等式链可以有更一般的情形： 当且仅当时成立，等号成立． 所以，平方平均值⩾算术平均值⩾几何平均值⩾调和平均值 三、应用举例 例1若求的最小值 分析：比如不等式成立，但是不是最小值．一个实数作为最小值，须满足： ，使得； ，都有． 解：因为，所以 ， 当且仅当 时，即时，等号成立． 因此所求的最小值为2． 利用基本不等式求最值要注意的有： （1）基本不等式的适用条件是𝑎⩾0，𝑏⩾0; （2）要求“和”的最值，必须保证“积”有定值; （3）使用基本不等式求最值时，必须要保证“=”能被取到． 通俗的说，就是代数式是否满足或者转化后满足“一正二定三相等”，若满足，就可以用基本不等式求最值． 例2 已知，求证：. 分析 联系基本不等式及其变形形式，发现2𝑎+2𝑏+2𝑐=(𝑎+𝑏)+(𝑏+𝑐)+(𝑎+𝑐)，分部分应用基本不等式即可． 证明 因为，所以由基本不等式，得 ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 上面三式相加，得，即 ，当且仅当时，等号成立. 四、课堂练习 1．下列结论正确得是（）. A.若，且，则 B.当时， C．当时，的最小值为2 D.当时， 2．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）． A. B. C. D. 3．已知，求证． 参考答案： 1．B 解析：对于选项A，当时， 显然不成立；对于选项B符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即则，均不满足；选项D，当异号时显然不成立. 2． 解析：本题考查不等式的性质、基本不等式，可以用排除法逐