1.3.2 基本不等式（2）教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 1.3.2基本不等式(2) 教学目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 教学重难点 重点:会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 难点:能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 教学过程 一、新课导入 情境1:在一次创意比赛中,有一件作品里,需要把一些长为16cm的铁丝弯成不同矩形去点缀,请同学们设计一些样式方案 . 方案 宽/cm / 方案1 2 6 12 方案2 3 5 15 方案3 4 4 16 思考:从这些方案给出的数据来看,我们可以得到哪些规律? 答:矩形的周长是定值;矩形的面积在变化;矩形两边越接近,面积越大. 设矩形长? cm宽? cm,依照题意2? +2? =16,? +? =8.根据基本不等式,,得, 当且仅当? =? =4,等号成立.边长为4cm的正方形的面积最大. 情境2:在另一件作品里,需要一些面积都为16的不同矩形去点缀,请同学们设计一些样式方案 . 方案 宽/cm / 方案1 1 16 16 方案2 2 8 16 方案3 4 4 16 思考:从这些方案给出的数据来看,我们又可以得到哪些规律? 答:矩形的面积是定值;矩形的周长在变化;矩形两边越接近,周长越小. 设矩形长? cm宽? cm,依照题意? ? =16.根据基本不等式,,得, 当且仅当? =? =4,等号成立.边长为4cm的正方形的周长最小. 注意: 矩形周长16cm,即两边之和的2倍16 cm,面积最大为;矩形面积,即两边之积16,周长最小16cm. 两个正数的和为定值,它们的积有最大值; 两个正数的积为定值,它们的和有最小值. 二、新知探究 问题1:两个正数的和为定值,它们的积有最大值;两个正数的积为定值,它们的和有最小值.这是一种定性描述.我们能否通过基本不等式,得到确定的结论呢? 分析:先得把定性描述,转化成数学语言的表达.即设为定值),求; ②(为定值),求最小. 答: 结论 已知均为正数时,下面的命题均成立: (1)若(和为定值),则当且仅当时,取得最大值. (2)若(积为定值),则当且仅当时,取得最小值. 注意:这个结论给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型. 两个正数的和为定值,当这两个数取什么值时,它们的积有最大值. 两个正数的积为定值,当这两个数取什么值时,它们的和有最小值. 对这两个模型,在利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”. 问题2:已知函数? =? 该函数有最大值还是最小值?能否通过基本不等式求它的最值? 答:,得,而? +.根据基本不等式, 当且仅当,即时,等号可取.故最大值为. 在解的过程中,先保证了都是正数,再保证? +,即和是定值,再保证了等号成立时可以满足.从而确定有最大值. 问题3:基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁.前面的学习,我们得到了利用基本不等式求最值的两个重要数学模型.大家能不能想出其它能利用基本不等式求最值的模型呢? 分析:基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁,那么如果我们知道两个数的“和”与其“积”的关系式,就能利用基本不等式建立有关“和”或“积”不等式.比如: 设为定值求 答: 结论 已知均为正数时,下面的命题均成立: (1)为定值,则当且仅当时,取得最小值. (2)为定值,则当且仅当时,取得最小值. 事实上,当两正数 ,它们的和它们的积之间有一个恒等关系,就可以结合基本不等式,将这个恒等式变成不等式.从而得到有关和或积的不等式.解不等式得出和或积的范围,根据基本不等式使用条件得到取得最值的条件,从而求出和或积的最值. 三、应用举例 例1动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (接头处不计) (1)现有可围长钢筋网的材料,当每间禽舍的长、宽各设计为多长时,可使每间禽舍面积最大? (2)若使每间禽舍面积为,则每间禽舍的长、宽各设计为多长时,可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小? 解:(1)设每间禽舍的长为,宽为,则,即. 设,应用基本不等式,有,即 .所以.当且仅当时,不等式中的等号成立,此时解得因此当每间禽舍的长、宽各设计为和时,可使每间禽舍面积为. (2)设周长,应用基本不等式,有,即 .所以.当且仅当时,等号成立,此时解得因此当每间禽舍的长、宽各设计为和时,可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小为48. 例2 若, , ,求 (1)的最小值;(2) 的最小值 解:均为正数,等式 给出了的线性和与其积之间的恒等关系,在运用基本不等式时,需要注意形式结构的变化. 2 当且仅当,等号成立,此时,的最小值为2. 当且仅当,等号成立,此时的最小值为2. 例3 已知正数,满足,求的最小值. 解:均为正数, 是和形式