1.3.1不等式的性质教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 1.3.1不等式的性质 · 教学目标 1．掌握作差比较法比较实数的大小． 2．掌握不等式的性质． 3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形． 4．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式． 5．体会数学抽象的过程，加强直观想象与数学运算能力素养的培养． · 教学重难点 · 重点：掌握作差比较法比较实数的大小；掌握不等式的性质． 难点：能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形． · 教学过程 · 一、新课导入 回顾：在现实世界和日常生活中，大量存在着不等关系．例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．请举例说明． 答：图1该路段限速40km/h；图2该品种酸奶生牛乳含量超过80%；图3两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；图4斜边大于直角边． 情境： 民用住宅的窗户面积和地板面积，一般来讲，窗户面积比地板面积小,即有不等关系：窗户面积地板面积．显然，值越大，住宅的采光条件越好． 当同时增加相等的窗户面积与地板面积时，住宅的采光条件会得到改善，即有不等关系：． 答：理论上值越大，住宅的采光条件越好；当同时增加相等的窗户面积与地板面积时，住宅的采光条件会得到改善，说明． 二、新知探究 探究一：实数大小比较的基本事实 问题1：要证明情境中结论是否成立，需要用到不等式的性质．而要探究不等式的性质，先得用到关于两个实数大小的基本事实． 数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系．结合数轴思考，可以得到什么样的结论呢？ 分析： 当点𝐴在点𝐵的左边时 当点𝐴在点𝐵的右边时 实数大小比较的基本事实 （1）基本事实：如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也成立． （2）这个基本事实可以表示为：． 比较𝑎，𝑏的大小等价于比较𝑎−𝑏与0的大小． 问题2：除了两个实数大小关系的基本事实，实数里还有其它基本事实吗？ 分析：证明不等式性质，还要用到下面的基本事实 1. 正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数． 2. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数． 3. 两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数． 4. 同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数． 探究二：不等式性质 问题3：我们得到关于两个实数大小的基本事实．还得到了实数的其它事实．应用这些事实，我们会得到哪些不等式的性质呢？ 性质1 如果，且，那么． 分析 要证，只需证． 证明 因为，且， 所以，， 从而，即． 说明：性质1（即传递性），在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”． 性质2 如果，那么． 分析 要证，只需证． 证明 因为，所以， 所以,即． 说明：性质2（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据． 性质3 （1）如果，那么； （2）如果，那么． 分析 （1）要证，只需证． 证明 （1）因为，所以． 又因为，所以，，即． (2) 因为𝑐<0，所以(𝑎−𝑏)𝑐<0，𝑎𝑐−𝑏𝑐<0，即𝑎𝑐<𝑏𝑐． 说明：性质3（即可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． 性质4 如果，那么． 证明 因为，所以． 又因为，所以． 由不等式的性质l，得． 说明：性质4（即同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． 性质5 （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么． 证明 （1）因为，所以． 又因为,所以． 由不等式的性质1，得． （2）因为𝑎>𝑏，𝑐<0，所以𝑎𝑐<𝑏𝑐． 又因为𝑐<𝑑，𝑏>0，所以𝑏𝑐<𝑏𝑑． 由不等式的性质1，得𝑎𝑐<𝑏𝑑． 特殊地，当时，”，其中，． 性质6 当 时， ，其中，． 证明 假设． 当时,可得 ，即．与已知条件矛盾． 当时,可得 ，即．与已知条件矛盾． 所以不成立，即． 说明：性质5和性质6（即同向同正可乘性，可乘方性）．即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． 三、应用举例 例1 试比较与的大小． 解 因为( ， 所以． 例2 试证明情境中的结论: . 分析 设窗户面积为𝑎，地板面积为𝑏，需证问题转化为： 若0<𝑎<𝑏，𝑚>0，则 证明 因为，所以 又，故 因此． 思考：生活中还有哪些实例可以用上面的不等式解释． 答：加糖越多，糖水口感越甜；加消毒液越多，刺激性气味越浓烈.浓度模型的问题都可以用该不等式解释. 方法技巧：作差法比较大小的步骤 作差 变形 判号 两个实数（或代数式）的大小，可以根据它们的差的符号进行判