8.1 直线和圆 题型1 距离问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.1 直线和圆 题型1 距离问题 母题模型 解读: 点到直线的距离公式 推理:A,B 的轨迹为 圆. (2023 河北邯郸 统考一模)已知点,,符合点 A,B到直线l的距离分别为1,3的直线方程为_ (写出一条即可).推理:两个圆的公切线 拆题 到点的距离为6 点的轨迹为 点的轨迹为 到点的距离为1 直线l过 点 据点到直线距离公式,解得 据点到直线距离公式,解得 直线l是两圆公切线 大招快解:直接设直线方程,利用点到直线的距离公式得, 且解得或或或. l的方程 直线l是两圆 的内公切线 l的方程 直线l过 点 直线l是两圆 的外公切线 方法总结三种距离运算 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离 |P1P2|= 点P0(x0,y0)到直线lAx+By+C=0的距离 d= 平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离 d= 注意运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错. 子题变式 1.(难度 )(2023 四川成都 川大附中校考二模)若点是曲线上任意一点,则点到直线距离的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点作曲线的切线,当切线与直线平行时,点到直线距离的最小.设切点为,,所以,切线斜率为 函数得定义域为,故 ,由题知得或(舍),所以,,此时点到直线距离.故选C. 2.(难度 )(2023 浙江嘉兴 统考模拟预测)已知点,与直线,若在直线上存在点,使得,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于直线,即,所以在直线上,设 由直线的点斜式方程得出直线恒过定点 ,其中,由两边平方得,即,整理得, 由于,所以,其中,根据二次函数的性质可知,当时,取得最大值, 二次函数的对称轴公式 且最大值为,则,解得.故选A. 3.(创新题)(难度 )(2023 河北衡水 河北衡水中学校考模拟预测)函数的最大值为( ). A. B. C. D.3 【答案】D 【解析】因为, 所以, 故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值, 由点到点距离公式 因为,,,所以,当且仅当时,等号成立,则,经检验,此时,, 所以,即的最大值为.故选D. 4.(难度 )(2023 河南焦作 统考模拟预测)已知为抛物线的准线上一点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作出图形,如图所示,根据题意可知:点,, 表示点到点的距离, 表示点到点的距离, 则,如图(当点三点共线时取等号),因为,所以的最小值为 两点间线段最短 ,故选. 5.(难度 )(2023 江苏南京 南京市秦淮中学校考模拟预测)设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_. 【答案】 【解析】解关于对称的点的坐标为,在直线上, 所以所在直线即为直线,所以直线为,即; 圆,圆心,半径, 依题意圆心到直线的距离, 直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 即,解得,即. 6.(挑战题)(难度 )(2023 山东临沂 统考一模)已知是函数的一个零点,且,则的最小值为_. 【答案】 【解析】因为 是 的一个零点, ,将 看作直线 上一个点的坐标,则原题就变为求当 时,点 到原点的 因为是变量,所以可以根据已知将其设为曲线上一点,进一步将问题转化为点线距 距离的平方的最小值,原点到直线的距离为 , ,令 , ,当 时,, 是增函数, 在 时, . 学科网(北京)股份有限公司 $$