5.2.1基本初等函数的导数课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1. 导数的定义 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 复习引入 2.导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线的斜率，即 3.如何求函数y=f(x)的导数? 在必修第一册中，我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节课开始，我们就来研究这些问题. 这显然是比较麻烦的. 由导数的定义知，一个函数的导数是唯一确定的．我们今后遇到的求复杂函数的导数问题，是不是都要按照这三个步骤来完成呢？ 下面，我们先来求几个常用函数的导数. 4 5.2.1基本初等函数的导数 探究新知 1.函数 y＝f (x)＝c 的导数 即 也就是说任意一个常数的导数是0. 追问：若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0的物理意义是什么？ 若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数. x y O y＝c 2.函数 y＝f (x)＝x 的导数 即 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. x y y=x O 追问：若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1的物理意义是什么？ 3.函数 y＝f (x)＝x2 的导数 即 追问1： y′= 2x的几何意义是什么？ 表示函数y＝x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′= 2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加， |y′|越来越大， y＝x2增加得越来越快. 追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？ 某物体做变速直线运动， 它在时刻x的瞬时速度为2x. 4.函数 y＝f (x)＝x3 的导数 追问1：还有没有其它得到 的方法？ 即 追问2：y′＝3x2的几何意义是什么？ x y O y＝x3 y′＝3x2表示函数y＝x3的图像上的点(x, y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 追问3：随着x的变化，函数y=x3的导数y′＝3x2也在变化，导数随x的变化反映出了函数y=x3怎样的变化？ 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x3增增加得越来越快；当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x3增加得越来越慢. 从导函数的非负性来看，除x=0时函数的导数为0外，函数的导数恒为正，因此函数在定义域上恒为增函数. x y O y＝x3 两个图，一个题中原图，一个简化图 两个问题， 如何建系？ 追问：怎么补全椭圆（因为求的是椭圆的方程，因此要补全）？，怎么建系并文字表述（练书写表达）？ 如何求方程？（求方程的流程） 先根据焦点所在轴设出椭圆标准方程， 选择字母ab的求解方法，（重点在这个步骤，方法有什么？） 计算得方程 方法1：再根据题中条件的分析，凑全椭圆的几何要素， （方法2：也可以用待定系数法） 通过对比结合题目信息寻找最优法 //重点说清楚，要点加强 5.函数 y＝f (x)＝ 的导数 x 1 — 追问1: 画出函数 的图象. 根据函数 的图象，结合函数的导数，描述它的变化情况. 结合函数图象及其导数 发现，当x<0时，随着x的增加，函数 减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数 减少得越来越慢. 追问2：求出曲线在点(1,1)处的切线方程. x+y-2=0 即 10 6.函数 y＝f (x)＝ 的导数 O x y 即 追问1：