5.2.1 基本初等函数的导数（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 了解空间向量及其有关概念,培养数学抽象素养 掌握空间向量的线性运算,培养数学运算的核心素养 掌握空间向量共线和空间向量共面的充要条件,并能解决空间中共线、共面的判断与证明问题,培养数学运算和逻辑推理的核心素养. 旧知回顾 导数的定义及其意义 导函数的定义 新知导入 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数. 本节我们就来研究这些问题. 新知探究 问题1 前面我们学习了导数的定义，并且会用定义求函数在某一点处的导数，那么由导数定义求函数y=f (x)的导数的步骤是什么呢？ 问题2 你能根据导数的定义，求出下列函数的导数吗？ y=x y=x2 y=x3 y = y= y=c 新知探究 1. 函数y=f (x)=c的导数 追问 若y=x表示一个物体运动时路程关于时间的函数，你能借助这个物体在任意一个时刻的瞬时速度，解释它们的运动状态吗？ x y O y＝c 若y＝c 表示路程关于时间的函数，则y′ ＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 新知探究 2. 函数y=f(x)=x的导数 追问 若y=x也表示一个物体运动时路程关于时间的函数，你能借助这个物体在任意一个时刻的瞬时速度，解释它们的运动状态吗？ x y O y＝x 若y＝x 表示路程关于时间的函数，则y′ ＝1可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动. 新知探究 3. 函数y=f(x)=x2的导数 追问 你能从几何或物理角度解释函数f(x)=x2的导数的意义吗? x y y=x2 O 若y′＝2x表示函数y＝x2的图像上的点(x, y)处切线的斜率为2x ，说明随x的变化，切线的斜率也在变化， 若y＝x2可表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. y′= 2x表明: 当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y=x2减少得越来越慢； 当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大， y=x2增加得越来越快. 新知探究 4. 函数y=f(x)=x3的导数 追问 你能结合函数f(x)=x3的图像从几何角度解释函数f(x)=x3的导数的意义吗? x y O y＝x3 若y′＝3x2表示函数y＝x3的图像上的点(x, y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 新知探究 5. 函数y=f (x)= 的导数 新知探究 5. 函数y=f (x)= 的导数 追问1 你能利用函数y=的图像，结合其导数描述图象的变化情况吗？ x y O 表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当时，随着的增加，|y'|越来越大， 减少得越来越块； 当时，随着的增加，|y'|越来小， 减少得越来越慢. 追问2 你能求出曲线在点(1,1)处的切线方程，并进一步说明导数的几何意义吗? 根据导数的几何意义，函数y=在x=1处的导数就是曲线在点(1,1)处切线的斜率. 新知探究 6. 函数y=f (x)= 的导数 定义新知 前面我们根据导数的定义求出了一些简单函数的导数.对于常用的基本初等函数的导数，教科书给出了公式表.请你阅读教科书，请记忆这些公式. 基本初等函数的导数公式 典例分析 例1 求下列函数的导数: 解： 课后练习 课本练习 课本P75 1. 求下列函数的导数: 典例分析 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解： 追问 如果某种商品的p0=5，那么在第10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 课后练习 课本练习 课本P75 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 典例分析 例3 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 典例分析 变式 求曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程． 课后练习 课本练习 课本P75 解： 课后练习 课本练习 课本P75 解： 基本初等函数的求导公式 题型一 题型探究 【例1】 求下列函数的导数： （1） ； [解析] . （2） ； [解析] ，所以 . （3） ； [解析] 由，可得 . 基本初等函数的求导公式 题型一 题型探究 （4） ； [解析] 由，可得 . 【例1】 求下列函数的导数： （5） . [解析] ，所以 . 基本初等函数的求导公式 题型一 题型探究 提分笔记 若所给的函数是基本初等函数，则直接利用公式求导；若所给的函数不是基本初等函数，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 利用导数公式研究曲线的切线方程 题型二 题型探究 【例2】已知函数 <m></m> . (1)求曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程； [解析] 由 <m></m> ，得 <m></m> ， 故切线斜率 <m></m> ，又 <m></m> ， 所以切线方程为 <m></m> ，即 <m></m> . 利用导数公式研究曲线的切线方程 题型二 题型探究 【例2】已知函数 <m></m> . [解析] 当为切点时，由（1）知，切线方程为 ； 当不为切点时，设切点为 ， 则切线斜率，故切线方程为 ， 又切线过点，所以，解得 （舍去） 或，因此切线方程为 . 综上，过点的切线方程为或 . 利用导数公式研究曲线的切线方程 题型二 题型探究 解题感悟 利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上. 若已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 <m></m> ； 若已知点不在切线上，则设出切点 <m></m> ，表示出切线方程，然后求出切点，进而求出切线方程. 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用以下三个条件联立方程解决: （1）切点处的导数值是切线的斜率；（2）切点在切线上；（3）切点又在曲线上. 导数公式的实际应用 题型三 题型探究 【例3】(1)从时刻开始的内，通过某导体的电量 （单位：库仑）可 以由公式 表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）. [解析] 由得，， 所以 ，， 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是 安， 安. 导数公式的实际应用 题型三 题型探究 【例3】(2)已知质点沿直线运动的路程与时间的关系是 ，则质点在 时的速度为( ) B A. B. C. D. [解析] ， ， .故选B. 导数公式的实际应用 题型三 题型探究 解决导数公式的实际应用问题时，需根据题意理解函数导数在该问题中的实际意义，特别是导数的物理意义. 解题感悟 课堂达标 1.已知，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 因为，所以 . 课堂达标 2.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生 产个单位产品与总成本的函数关系是 ，则生产8个单位产品 时，边际成本是( ) D A. 2 B. 8 C. 10 D. 16 [解析] ，则 .故选D. 课堂达标 3.已知函数的图象经过点（ 是自然对数的底数）， 则 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. [解析] 由题意得，，所以，则 ，所 以，则 . B 课堂达标 4.若直线与曲线 相切，则切点的坐标为_______. [解析] 设切点坐标为， ， ， 又， 解得， 切点坐标为 . 课堂小结 导数的运算 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式 导数公式的运用 感谢聆听! ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 解：∵y′＝， ∴k＝y′|x＝e＝， 解：由y＝ln x得y′＝， ∵O(0，0)不在曲线y＝ln x 上， ∴设切点Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e， ∴Q(e，1)，所以k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)， 即x－ey＝0. $