5.2.1 基本初等函数的导数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

●059 随堂检测 重反馈 1.如图，函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2025·深圳月考)已知函数f代x)可导，且满足m3)人3+△)=2，则函数)=(x)在x=3处 △x 的导数为 () A.-1 B.-2 C.1 D.2 3.已知函数y=寸()的图象在点M(1,(1)处的切线方程是y=3x+2,则f(1)+f(1)= 4.已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15] 5.2 导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 新课程标准解读 学科核心素养 L.能根据导数定义求函数y=c,y=,y=,y=,y=y=的导数 数学运算 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 利用导数的定义我们可以求出函数y=x2在x=1,2,3等任意值 时的导数.但对每一个给定的值都重复一遍相似的求解过程，费 时费力，不利于我们对新知识的探索，如果先求出y=x的导函 数，将其作为公式来利用，可以大大简化求某一特定值的导数的 过程，起到事半功倍的作用.本节我们探究几个常用函数的导数 公式 060 白新知初探 知识点一几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=x f'(x)= [知识点反思1] f(x)=x2 f'(x)= 这几个常用函数的实 f八x)=x3 f'(x)= 质是基本初等函数中 的幂函数，由于经常 )= f'(x)= 使用，为了避免转化 的麻烦，可单独记忆 f(x)= f'(x)= [知识点反思1] 知识点二基本初等函数的导数公式 [知识点反思2] 原函数 导函数 (1)对于根式f(x)= ,要先转化为幂 f(x)=c(c为常数) f'(x)= 函数的形式∫(x)= f(x)=x“(a∈R,且≠0) f'(x)= x云，再利用公式求导 f(x)=sinx f'(x)= 数，即∫·(x)= f(x)=cosx f'(x)= ; (2)f(x)=e和f(x) f(x)=a*(a>0,且a≠1) f'(x)= =nx分别是函数 f(x)=e* f'(x)= f(x)=a(a>0,且 a≠1)和f(x)=log。x f(x)=logx(a>0,且a≠1) f'(x)= (a>0,且a≠1)在底 数a=e时的特例； f(x)=In x f'(x)= (3)三角函数的导数 公式中，一要注意名 称的改变，二要注意 ●[知识点反思2] 符号的变换 061 ©预习自测 1.（多选)下列结论，其中正确的为 Ay=ln2,则/=月 B,=2),则y=-21n2 Cy=则y=易 D.y=sinx,则y'=cosx 2.若y=log3x,则y'= 题型探究提技能 题型一 基本初等函数的导数 例1求下列函数的导数： [方法总结1] 求简单函数的导数的 y=5: 方法 (2)y=Ig x; (1)若所给函数符合 w 导数公式，则直接利 用公式求导； (2)若给出的函数解 (4y=2as5-1 [方法总结1] 析式不符合基本初等 函数的导数公式，则 通过恒等变换对解析 式进行化简或变形后 求导. 062 》跟踪训练1 求下列函数的导数 (1)y=ln2023; (2)y=4; a品 (4y=os罗-x小： 题型二利用导数公式解决切线问题 [方法总结2] 例2求曲线y=:过点(3,2)的切线方程. 利用导数的几何意义 [方法总结2] 解决切线问题的两种 情况 (1)若已知点是切 点，则在该点处的切 线斜奉就是该点处的 导数； (2)如果已知点不是 切点，则应先设出切 点，再借助两点连线 的斜奉公式等于用导 数求得的斜奉造方程 进行求解 063 〉跟踪训练2 已知直线y=x是曲线y=3的切线，求k的值 [方法总结3] 由导数的定义可知， 导数是瞬时变化奉， 所以求某个量的变化 速度，就是求相关函 数在某点处的导数， 题型三导数公式的实际应用 例3.某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价（单位：万元）与时间 t(单位：年)有如下函数关系：p(t)=P(1+10%)',假定Po=1,那么 在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到0.01万元/年）？ (参考数据：1.15=1.611，ln1.1=0.095) ●[方法总结3] 》跟踪训练3 从时刻t=0开始的t(单位：秒)内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由 公式g=cost表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）. 064 随堂检测重反馈 1.已知f(x)=√x,则f'(16)= A.-s C.-4 D.4 2.（多选)已知曲线y=x在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标可以为 A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) 3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本，设生产x个单位产品的总成本函 数是C(x)=x,则生产4个单位产品时，边际成本是 () A.3 B.4 C.8 D.16 4曲线y在点M3,兮)处的切线方程是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16] 5.2.2导数的四则运算法则 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 数学运算 2.会用导数的四则运算法则求简单函数的导数 数学运算、数学建模 教材梳理 明要点 ⊙情境导入 [提示] 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的 可利用导数的四则运 函数.利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，而 算法则进行简化 计算. 常见的初等函数的导数能否借助基本初等函数的求导公式简化计算呢？ [知识点反思] P[提示] (1)导数的加法与减 白新知初探 法法则，可由两个可 导函数推广到任意有 知识点导数的四则运算法则 限个可导函数即 ((x)±万(x)±… 1.[f(x)±g(x)]'= 圹n(x)'=f'(x)± 2.[fx)g(x)]'= f2'(x)±…圹n'(x). 3. fx)1' (2)注意 R) 8(x)s g(x). I(x) g'(x)1 4.[gf(x)]'= ●[知识点反思]4=1,即%=-2x(）+1=切点坐标 为(4) 5.2导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 012x3x2 1 2 知识点二 0a“-1 -sin x a'ln a e 11 xln a x 预习自测 1.CD由导数的运算公式可知，由y=ln2,则y'=0,所以A错 1 误：由y=（2),则y=-（ 1 ln2,所以B错误；其他选 项均正确 1 题型探究 提技能 例1：l解析】1)y=(5)n5=-(兮)n5 (2)y'=n10 (3)因为y==，所以y=()y==弓 （4)因为y=2o分-1=，所以y=(eos)=-n上 跟踪训练1：【解析】(1)因为y=ln2023是常数， 所以y'=(1n2023)'=0. (2)因为y=4,所以y'=41n4. (3)因为y==x, 所以y=(x)=分=2 2xJ (4)因为y=cos(牙-x）=simx,所以y=c0sx 例2：【解析】因为点(3,2)不在曲线y=(上， 所以设过(3,2)与曲线y=:相切的直线在曲线的切点为 (x0,%),则0= 因为y=,所以y=()=分1， 2/x 所以根据导数的几何意义， 曲线在点(0%)处的切线斜率k=、1 2 思为晚对点62.所听名左 即2压=，1，整理得()2-4瓜+3=0， 3-x02 解得=1或x=9,所以切点坐标为(1,1)或(9,3). 15 ①当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k=2, 所以切线方程为y-2=之(x-3),即x-2y+1=0, ②当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k=6, 所以切线方程为y-2=石(x-3),即x-6y+9=0, 综上可知：曲线y=√x过点(3,2)的切线方程为x-2y+1=0 或x-6y+9=0. 跟踪训练2：【解析】设切点为(xo,少)： 因为y'=3ln3,所以k=30ln3, 所以切线方程为y=3oh3·x. 又因为切点(，)既在切线上又在曲线y=3”上， 所以3oln3·=3*0, 1 所以=n3lgc,所以k=dn3. 例3：【解析】由题意得p'(t)=1.1n1.1, 所以p'(5)=1.151n1.1=1.611×0.095≈0.15（万元/年）， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万 元/年. 跟踪训练3：【解析】由g=cost得，g'=-sint, 所以g'(5)=-sin5,g'(7)=-sin7, 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是-sin5安，-sin7安. 随堂检测重反馈 18f右f62 1 2168 2.BCy=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1，则P点坐 标为(-1，-1)或(1,1). 3.AC()=3),C(4)=32=3.故选A 2 2 4x+9y-6=0=-子在点M(3,})处的斜率k 号在点(3，号)处的切线方程为y-了=-号(x-3). 即x+9y-6=0. 5.2.2导数的四则运算法则 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.f'(x)±g'(x) 2.f'(x)g(x)+fx)g'(x) 3.f'(x)x)=(g(x)≠0) [g(x)]2 4.cf'(x) 预习自测 1.D 2.sin x+xcos x 3.1f'()=e=e=1=x (e)2 er