（讲义）第8章 微专题3 二面角的常见求法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

微专题3　二面角的常见求法 求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角． 类型1　定义法求二面角 方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角． 【例1】　如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小． [解]　如图，取AB中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1， ∴VO⊥AB，CO⊥AB， ∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角． ∵VO＝＝＝1， CO＝＝＝1， ∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形， ∴∠VOC＝60°， ∴二面角V-AB-C的大小为60°. 类型2　三垂线法求二面角 方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角． 【例2】　如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； (2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值． [解]　(1)∵∠SAB＝∠SAC＝90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC. 又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC. 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB. 又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB. (2)取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB， 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC. 又SC⊂平面SBC，∴SC⊥AD. 作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE， ∵AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE. ∴SC⊥平面ADE. 又DE⊂平面ADE，则DE⊥SC， 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角． 设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝2a，AD＝a，AC＝2a，SC＝4a. 由题意得AE＝a， 在Rt△ADE中，sin ∠AED＝＝＝， ∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为. 类型3　垂面法求二面角 方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角． 【例3】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小． [解]　∵SB＝BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线， ∴SC⊥BE. 又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC是所求二面角的平面角． ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2. ∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°. 又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°. 即所求的二面角等于60°. 类型4　射影面积法 方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便． 以多边形射影为三角形为例证明，其他情形可自证． 证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D. ∵AA′⊥α于A′，D∈α， ∴AD在α内的射影为A′D. ∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC， AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D， ∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D， ∴A′D⊥BC. ∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角． 设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝BC·AD，S′＝BC·A′D. ∴cos θ＝＝＝. 【例4】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小． [解]　如图，∵PA⊥平面ABCD， AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD， 又AD⊥