（讲义）第8章 微专题2 球的切、接问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

微专题2　球的切、接问题 与球有关的内切、外接问题是学习立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解． 类型1　球与柱体的外接球 【例1】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2　　B．πa2　　C．πa2　　D．5πa2 B　[如图所示， 设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2．] 类型2　球与锥体的外接球 【例2】　(1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，则其外接球的表面积是________． (2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________． (1)6π　(2)或　[(1)根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球． 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6． ∴R2＝． 故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π． (2)①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.该圆锥的体积为×π××＝πr3，球的体积为πr3， ∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝． ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为．] 类型3　球与台体的外接球 【例3】　(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π A　[由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A．] 类型4　球与几何体的内切问题 【例4】　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　) A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 (2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． (3)已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为________． (1)C　(2)π　(3)　[(1)如图，BE＝BO2＝r， AE＝AO1＝R， 又OE⊥AB且BO⊥OA， ∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝rR， ∴球的表面积为4πOE2＝4πrR． (2)法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝＝2.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π． 法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π． (3)由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P -ABC＝V三棱锥O -PAB＋V三棱锥O -PAC＋V三棱锥O -PBC＋V三棱锥O -ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋××××r，解得r＝.故内切球的表面积为4πr2＝．] 微专题强化练(二)　球的切、接问题 一、选择题 1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为(　　) A．　　　B．2　　　C．3　　　D． C　[设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5.设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝3.故选C．] 2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长