（讲义）第8章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

类型1　空间几何体的表面积和体积 1．主要考查空间几何体的几何体表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题；对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解． 2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养． 【例1】　(1)(2022·山东泰安期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥AC，A1A⊥BC，平面A1BC⊥平面AA1B，AC＝5，若该三棱柱存在体积为π的内切球，则三棱锥A-A1BC体积为(　　) A．　　　B．　　　C．2　　　D．4 (2)如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． (1)D　[如图所示， 因为C1C⊥AC，A1A⊥BC⇔C1C⊥BC，AC∩BC＝C，所以CC1⊥平面ABC，又因为平面A1BC⊥平面AA1B，平面A1BC∩平面AA1B＝A1B，过点A作AE⊥A1B， 则AE⊥平面A1BC，则AE⊥BC. 又因为BC⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥BC.设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则b2＝a2＋c2，又因为三棱柱内切球的体积为π，则π＝πR3，则R＝1. 又R＝，即c＋a－b＝2，则 ， 解得ac＝12，棱柱的高等于内切球直径2， 所以＝＝××12×2＝4， 故三棱锥A-A1BC的体积为4.故选D.] (2)[解]　由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面， S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2， 故所求几何体的表面积为68π cm2. 由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)， V半球＝π×23×＝π(cm3)， 所以所求几何体的体积为 V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 类型2　空间点、线、面位置关系 1．空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，平行、垂直关系的相互转化如图所示． 2．通过线线、线面、面面平行、垂直关系的相互转化，提升直观想象和逻辑推理素养． 【例2】　(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的是(　　) A．直线AM与C1C是相交直线 B．直线AM与BN的平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线MN与AC所成的角为60° (2)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．求证： ①AC⊥B1C； ②AC1∥平面CDB1. (1)CD　[结合题图，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线．连接D1C，AD1(图略)，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，易知∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°，故选CD.] (2)[证明]　①∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC. ∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴AC⊥BC. 又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1， 而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C. ②连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图， ∵O，D分别为BC1，AB的中点， ∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1. 类型3　空间角的计算 1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角． 2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养． 【例3】　如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成的角的大小； (2)AO与平面ABCD所成的角的正切值； (3)二面角B-AO-C的大小． [解]　(1)∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)． ∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， ∴sin ∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°. 即AO与A′C′所成的角为30°. (2)如图，作OE⊥BC于点E，连接AE. ∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角． 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan ∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成的角的正切值为. (3)由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面