（讲义）第7章 探究课2 代数基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 探究课2 代数基本定理 一知识提炼一 1.代数基本定理： 任何一元(n∈N次复系数多项式方程f(w)=0至少有一个复数根. 它说的是：任何一元n次复系数多项式f(x)在复数集中有n个复数根（重根按重 数计) 2.一元多项式方程的根与系数之间的关系 (1)设实系数一元二次方程a2x2+a1x十ao=0(a2≠0)在复数集C内的根为x1,x2, 则 x+x2=黄， X12=费 3.设实数系一元三次方程 a2x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)① 在复数集C内的根为1，x2,x3,可以得到，方程①可变形为a(x一)x一x2) (x一x3)=0, 展开得a3x3一a3(1十x2十)x2+a3(1x2十x13十23)x一a31x23=0.② 比较①②可以得到 X1+x2+X3=号， x1X2+x1X3+x2X3=0, a0 X1X2X3=- 一典例探究口 【典例】(1)多选)2022·浙江金华一中期中)在代数史上，代数基本定理是数 学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x=1的一个根，则w2+w十1 =() A.0 B.1 C.2 D.3 (2)2022·江苏盐城期末)设多项式函数f(x)=awxn+am-1x1+…+a1x十ao(a,≠0)， 根据代数基本定理可知方程f(x)=0有n个根1,2，…，xm则x1十x2十…十xm ;x1X2“xm= (1)AD 2)- (-1)y1)因为x3=1,所以3-1=0，即x-10x2+x+1) 13 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXxK.com○ 您身边的互联网+教辅专家 =0,所以=1或=.即0=1或0= 2 2 当w=1时，2十0+1=3： 当m=时，+0十1=0.故选AD. (2)由题意知： f(x)=a(x一1)x一x)…(x-xn), ax-)x-x2(x-xn)=amx"+an-1x1+…十ax十a0, ∫a1=-an(X1+X2+…+xn), {=(-1)”axx2xa X1+X2+…+Xn=器， x1x2x=(-1)”器 ] 一对点训练一 1.设实系数一元三次方程x3+2x2+3x十4=0在复数集C内的根为，x2,3, 则x好+号+的值为() A.-2 B.0 C.2 D.4 A[.'x3+2x2+3x+4=(x-)x-2)x-3)=x3-(1十2十x3)x2+(2十13十 x2X3x一X'2X3, 由对应系数相等得： 1十x2十3=一2，x2十13十x2=3, ·X+号+X=(十x2十)2-212十x1w十xx)=4一6=一2.故选A.] 2.(多选)设实系数一元四次方程m4+bx3+cx2+dk+e=0(a≠0)，在复数集C内 的根为，x2,3,x4,则下列结论正确的是( ) A.十2十x3十4=-贵 B.x1w2w十Mx2x4十x1x3x4十x2x3x4=一等 C.x1x2xx4=号 D.x1x2十x13十1x十x2x3十x2x4十x34= AC[由题设知： ax4+bx3+cx2+dx+e=a(x-x1x-x2)(x-x3)x-x4) =4-(+x2++x)r3+(x1.2十x13十x23十x4十24+3)x2-(2x十 1xx4十x1x3x4十x23x4)x十x1x2x34], 23 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 十3十指十x4=一鲁， 2十13十x2X十4十x2x4十x式4=号， x1x23十xr24十1x4十x2x3x4=一号，x123x4=号.故选AC.】 ·独家授权侵权必究·