（讲义）第6章 微专题1 平面向量中的最值与范围问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

微专题1　平面向量中的最值与范围问题 平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有了“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等． 类型1　目标函数法求最值(或范围) 【例1】　(1)已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________． (1)C　(2)4　[(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2， cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝， 又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4， 所以0<cos〈a，b〉≤， 所以a，b的夹角的最小值为． (2)法一(构造函数法)：由题意得|a|＝1，|b|＝2, a·b＝sin θ－cos θ＝2sin ， 所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝4×12＋22－8sin ＝8－8sin ． 所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16， 故|2a－b|的最大值为4． 法二(几何意义)：由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4． 类型2　坐标法、几何意义法求最值(或范围) 【例2】　(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是(　　) A．(－2，6)　　 B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) A　[法一(坐标法)： 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，)． 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1<x<3． 所以＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)． 法二(几何意义法)： 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义，可知等于的模与方向上的投影的乘积，所以的取值范围是(－2，6)，故选A．] 类型3　基本不等式法求最值(或范围) 【例3】　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________． 　[由题意得＝＝－，所以＝m＋n＝m＋n＝＋n， 由P，B，C三点共线，得 m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)， 所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋＝ (当且仅当3n2＝4m2，即时取等号)，则＋的最小值为．] 类型4　极化恒等式法求最值(或范围) 【例4】　(1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________． (2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则的最小值为________． (1)2　(2)－27　[(1)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则＝－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以的最大值为2． (2)由题设，AC＝6，取AC的中点O，连接OA，OC，OP， 则＝＝＝，所以＝()·()＝－＝－27≥－27．] 微专题强化练(一)　平面向量中的最值与范围问题 一、选择题 1．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是(　　) A．　　 B． C． D．[0，1] C　[将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1． 则M，C(1，1)． 所以＝＝(1－x，1)， 所以＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋． 因为0≤x≤1， 所以≤(1－x)2＋≤， 即的取值范围是．] 2．边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：＝＋λ(λ∈R)，则的取值范围是(　　) A． B． C． D．[－2，2] B　[因为点M在△ABC内部(包括边界)， 所以0≤λ≤， 由＝·() ＝ ＝－2＋＋2λ＝－＋2λ∈．] 3．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，则＋的最小值为(　　) A．10　　　B．9　　　C．8　　　D．4 C　[因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)， 所以m＋2n＝1， 所以＋＝(m＋2n) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．] 4．已知等边△ABC的