培优02 平面向量的运算与向量基本定理（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

培优02平面向量的运算与向量基本定理 题型1 平面向量线性运算的应用 1、 向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。 2、 向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。 3、理解向量的加减法的几何意义，所以可以用数形结合来解决平面向量的加减运算。 1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 2．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2 向量共线（三点共线） 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 注意： 零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．（2026高一·全国·专题练习）已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26高一下·全国·课后作业）设两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为________． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数___________． 题型3 证明三点共线 1、 利用定理来证明共线。如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使 2、 把两向量用两个基底向量来表示，证明两基底的系数成比例关系从而判断共线。 3、 证明三点共线时，可为这三点构造两个向量，找到存在的唯一的实数，证明三点共线。 注意： 不共线的两个向量才能作为基底。 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 2．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知直角梯形，，，过点C作于点E，M为的中点，用向量的方法证明： (1)； (2)D，M，B三点共线． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（1）设，是两个不共线的向量，已知，，，试判断，，三点是否共线； （2）设，是两个不共线的向量，在四边形中，，，，证明：四边形为平行四边形． 5．（25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 题型4 共线定理的应用 A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（    ）. A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 5．（25-26高一上·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 题型5 用基底表示向量 1、运用向量的加法、减法、数乘等运算，理解运算的几何意义。 2、运用向量共线定理来表示向量。 1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 题型6 平面向量基本定理的应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 1．(多选)（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 3．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 4．（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，则________，________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02平面向量的运算与向量基本定理 题型1 平面向量线性运算的应用 1、 向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。 2、 向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。 3、理解向量的加减法的几何意义，所以可以用数形结合来解决平面向量的加减运算。 1．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算得，即得到线段长度的倍数关系． 【详解】因为，且E为中点， 所以， 则长度是的4倍. 故选：B. 2．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则. 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由图形结合向量加减法法则即可运算求解. 【详解】由题可得， ， ， . 故选：AC 5．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B 题型2 向量共线（三点共线） 1、 判断非零向量是否共线可从向量共线定理出发，存在唯一的实数，使 2、 对非共线向量，则 与共线 注意： 零向量与任意向量都共线，所以零向量导致向量共线不具传递性，也会成为判断向量共线情况中的一些特殊情况。 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C 2．（2026高一·全国·专题练习）已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据是否共线进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若，则存在，使得， 则， 而，所以与共线. 若不共线，若与共线， 则存在，使得， 则. 综上所述，与共线的条件为或. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用三点共线满足的向量关系求解即可. 【详解】因为，，， 选项A，，， 若，，三点共线，则，即， 解得，故该选项正确； 选项B，，， 若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若，，三点共线， 则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，， ，若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）设两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理列式求解. 【详解】由向量与向量共线，则存在实数，使得， 而不共线，因此且，解得， 所以所求实数的值为． 故答案为： 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数___________． 【答案】 【分析】根据平面共线的基本定理与平面向量的基本定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】和共线，存在实数，使得． ， 又和不共线，所以，化简得出，解得. 故答案为：. 题型3 证明三点共线 1、 利用定理来证明共线。如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使 2、 把两向量用两个基底向量来表示，证明两基底的系数成比例关系从而判断共线。 3、 证明三点共线时，可为这三点构造两个向量，找到存在的唯一的实数，证明三点共线。 注意： 不共线的两个向量才能作为基底。 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【详解】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 2．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知直角梯形，，，过点C作于点E，M为的中点，用向量的方法证明： (1)； (2)D，M，B三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，然后根据向量平行的坐标表示证明即可. （2）根据向量的关系证明三点共线. 【详解】（1）证明：以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 令，则，． 因为，而， 所以四边形为正方形． 所以可求得各点坐标分别为，，，，． 因为， ， 所以，所以，即． （2）因为M为的中点，所以， 所以， ． 所以，所以． 又与共点于M，所以D，M，B三点共线． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（1）设，是两个不共线的向量，已知，，，试判断，，三点是否共线； （2）设，是两个不共线的向量，在四边形中，，，，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）三点共线；（2）证明见解析； 【分析】（1）根据向量的线性运算可推出与共线．结合与有公共点，即可得结论； （2）根据向量的线性运算可推出，进而可证明结论. 【详解】（1）， 又，， 又与有公共点，故，，三点共线． （2）证明：， 又在四边形中，，，，四点不共线，则， ∴四边形是平行四边形． 5．（25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【详解】（1）由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； （2）由， 则，所以，即三点共线. 题型4 共线定理的应用 A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】ACD 【分析】先对向量表达式进行变形，得出向量共线关系，再根据的取值范围，即可判断点的位置关系. 【详解】由题意，，可得， 所以，所以，，三点共线， 又，所以，所以点在线段上． 又点位置不确定，所以不能说明四点共线. 故选：ACD 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量三点共线的推论与向量共线的性质即可得解. 【详解】因为三点共线，不妨设，其中，，    又三点共线，且反方向，不妨设， 所以， 又，则， 所以， 故选：D. 4．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 5．（25-26高一上·北京延庆·期末）在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理即可求解. 【详解】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 故答案为： 题型5 用基底表示向量 1、运用向量的加法、减法、数乘等运算，理解运算的几何意义。 2、运用向量共线定理来表示向量。 1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 2．（2026高一·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合图像得到四边形为平行四边形，从而得到，由及得到. 【详解】连接CD，OD，如图， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴，∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， . ∵，，∴. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 4．（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质，结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 因为，所以是的中点，所以，且， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，且， 所以 又因为， 所以，因为， 所以，所以， 因为， 所以， 所以 . 故选：B 5．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 题型6 平面向量基本定理的应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 1．(多选)（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 3．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 4．（2026高一下·全国·专题练习）如图所示，在中，为的中点，与交于点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.75 【分析】由向量共线定理可得，进而可得，结合向量的线性运算可得，比较系数即可求解. 【详解】三点共线，且为的中点， 存在实数使， ， ， 因为，即， ， 即，解得. 故答案为：. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，则________，________． 【答案】 【分析】设，，则，，根据A，P，M和B，P，N分别共线，可知存在实数使得，，根据，解出即可. 【详解】设，， 则， 因为，，和，，分别共线， 则存在实数使得，． 可得． 又因为， 由平面向量基本定理得，解得， 则，． 所以，． 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $