（讲义）第6章 6.3 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学习任务 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(数学运算) 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．(逻辑推理、数学运算) 在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 知识点　平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)数量积的坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2． (2)向量模的公式：|a|＝． (3)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝_． (4)向量的夹角公式： cos θ＝＝． (5)向量垂直的充要条件： 若a与b都是非零向量，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 已知向量a＝(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么？ [提示]　设与a共线的单位向量为±a＝±＝±． 1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________． 　[因为a⊥b， 所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0， 解得m＝．] 2．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则|a|＝________，|b|＝________，a，b的夹角θ＝________． [答案]　2　2　120° 类型1　平面向量数量积的坐标运算 【例1】　(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　　　B．－10　　　C．3　　　D．－3 (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则＝________． (1)B　(2)　[(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.故选B． (2)建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 因为＝2，所以F.所以＝(2，1)， ＝－(2，0)＝， 所以＝(2，1)· ＝2×＋1×2＝．] 　数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． [跟进训练] 1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．无法确定 (2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影向量长度为________． (1)C　(2)　[(1)以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图． 则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)． 所以＝(－2，0)，＝(－2，y)， 得＝(－2，0)·(－2，y)＝4． (2)由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此方向上的投影向量长度为＝＝．] 类型2　向量模的坐标表示 【例2】　若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： (1)向量a的模； (2)与a平行的单位向量的坐标； (3)与a垂直的单位向量的坐标． [解]　(1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5． (2)与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)， 即坐标为或． (3)设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝． 又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1， 解得 或 ∴e＝或e＝． 　求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝． [跟进训练] 2．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|． [解]　(1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)， |a－2b|＝＝． (2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c＝a－(a·b)·b ＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)， ∴|c|＝＝． 类型3　向量的夹角与垂直问题 【例3】　(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝，求k为何值时： (1)a∥b? (2)a⊥b? (3)a与b的夹角为钝角？ [解]　(1)因为a∥b， 所以3k－1