6.3.5平面向量数量积的坐标表示（分层作业，7大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 知识点一 平面向量数量积的坐标运算 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 4．（24-25高一下·山东淄博·月考）边长为的菱形中，，、分别为、的中点，则 5．（24-25高一下·山东济宁·月考）在中，，为边的中点，则 ． 知识点一 利用坐标研究向量垂直问题 1．（24-25高一下·海南·月考）已知向量，若，则m等于（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·辽宁·月考）已知向量，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知平面向量，且，则λ的值为（    ） A．-2 B． C．2 D． 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）设向量，，且．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 知识点二 利用坐标研究向量的模长 1．（24-25高一下·广西北海·期中）设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津西青·月考）设，向量且，则（    ） A． B． C． D．10 3．（24-25高一下·河南·期末）已知点，其中，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高一下·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 . 5．（24-25高一下·江苏·月考）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 . 知识点三 利用坐标研究向量的夹角 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）若向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东潍坊·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点四 利用坐标求向量投影 1．（24-25高一下·陕西汉中·月考）向量在向量方向上的投影数量为 . 2．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东肇庆·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建泉州·月考）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点一 利用坐标求向量数量积的最值为 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高一上·江苏南京·调研）在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ． 5．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 知识点二 向量运算的新定义问题 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·月考）定义 若 则与 方向相同的单位向量的坐标为 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则 ；若，则 ． 3．（23-24高一下·云南楚雄·月考）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： (1)若向量，，求的值； (2)若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 4．（24-25高一下·河南·期末）已知向量，且，定义向量的新运算：． (1)若向量，且，求； (2)证明：是的充要条件， 5．（24-25高一下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充分必要条件为. (1)已知，，求； (2)已知，的夹角为，，的夹角为，证明：的充分必要条件是； (3)在中，，，为的中点，且，若，求. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 知识点一 平面向量数量积的坐标运算 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由，可得， 则.故选：D. 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3， 所以，所以， 所以.故选：A. 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点， 则， 所以， 所以.故选：A. 4．（24-25高一下·山东淄博·月考）边长为的菱形中，，、分别为、的中点，则 【答案】 【解析】设，则为、的中点，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 所以，，故. 5．（24-25高一下·山东济宁·月考）在中，，为边的中点，则 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 因为为的中点，可得，则， 所以. 知识点一 利用坐标研究向量垂直问题 1．（24-25高一下·海南·月考）已知向量，若，则m等于（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由向量，可得， 因为，可得，解得.故选：C. 2．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，解得.故选：D 3．（24-25高一下·辽宁·月考）已知向量，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意可得，，则得.故选：C. 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知平面向量，且，则λ的值为（    ） A．-2 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】依题意，，由，得， 因此，所以.故选：D 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）设向量，，且．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，，且， 所以， 又，所以，所以，所以.故选：B 知识点二 利用坐标研究向量的模长 1．（24-25高一下·广西北海·期中）设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得，所以.故选：B 2．（24-25高一下·天津西青·月考）设，向量且，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【解析】由于， 所以，解得， 所以， 所以.故选：C 3．（24-25高一下·河南·期末）已知点，其中，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．故选：A. 4．（24-25高一下·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 . 【答案】 【解析】，，，得， . 5．（24-25高一下·江苏·月考）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，设，，， 则， 由，则，整理得， 显然，否则，，与已知矛盾， 故，可得， 由，即，故，解得， 故. 知识点三 利用坐标研究向量的夹角 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）若向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， 所以，而 所以与的夹角为.故选：. 2．（25-26高一上·山东潍坊·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. 1 ，因为， 所以，解得. 2 ，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且.故选：D. 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是.故选：C. 4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解析】设，因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 解得或，所以或， 当时，可得， 又因为，所以， 当时，可得， 又因为，所以， 综上所述：与的夹角的大小为.故选：B. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则由，，可设，， 则，即，则 ， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，故.故选：A. 知识点四 利用坐标求向量投影 1．（24-25高一下·陕西汉中·月考）向量在向量方向上的投影数量为 . 【答案】2 【解析】由题意有， 所以向量在向量方向上的投影数量为. 2．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，， 所以， 所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为. 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：D. 4．（24-25高一下·广东肇庆·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量，，故，则，， 在方向上的投影向量为，故选：A. 5．（25-26高一上·福建泉州·月考）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，又， 则，，， 因为，所以， 即，解得， 所以，则，， 所以，， 所以在上的投影向量为.故选：D 知识点一 利用坐标求向量数量积的最值为 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 设（）， 则， 又， 所以. 所以，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以.故选：A 2．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 所以，由于， 所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为， 当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为， 所以.故选：A. 4．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为.故答案为：D． 4．（25-26高一上·江苏南京·调研）在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】不妨设点靠近点，点靠近点， 以等腰直角三角形的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 线段的方程为． 由，设，则有， ， ， ，则由二次函数的知识可得． 5．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 【答案】 【解析】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当时，可得的最小值是 故答案为： 知识点二 向量运算的新定义问题 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·月考）定义 若 则与 方向相同的单位向量的坐标为 【答案】 【解析】由题意可得， 所以与方向相同的单位向量的坐标为. 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则 ；若，则 ． 【答案】 【解析】第一空：因为，．，所以，解得． 所以，所以； 第二空：由，可得， 解得，所以，又，所以， 所以. 故答案为：①；②. 3．（23-24高一下·云南楚雄·月考）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： (1)若向量，，求的值； (2)若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 【答案】(1)2；(2) 【解析】（1）由已知，得，由，可得， 又，∴，； （2）， ∴， ∴， 又， ∴， ∴. 4．（24-25高一下·河南·期末）已知向量，且，定义向量的新运算：． (1)若向量，且，求； (2)证明：是的充要条件， 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，且， 所以，解得，则， 所以． （2）证明：若，则． 又，所以，即， 所以． 故是的充分条件． 若，则， 整理得，所以． 故是的必要条件． 综上所述，是的充要条件． 5．（24-25高一下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充分必要条件为. (1)已知，，求； (2)已知，的夹角为，，的夹角为，证明：的充分必要条件是； (3)在中，，，为的中点，且，若，求. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为，， 所以； （2）因为 ， 且，， 则， 所以. 因为等价于，即， 所以的充分必要条件是； （3）如图， 因为为的中点，所以， 可得， 即，可得， 由，可知为的中点，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $