6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，涵盖数量积坐标公式、向量垂直条件及夹角坐标公式。课堂导入先回顾向量运算坐标表示与共线条件，通过问题1引导用单位向量i、j展开推导，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如追问深化模、距离、垂直的坐标理解，例3用向量法证明两角差余弦公式体现数学思维的严谨。结合数学眼光发现数量关系，数学思维推导逻辑，助学生构建结构化知识，教师可借典型例题提升教学效率。

平面向量数量积的坐标表示 1 1.平面向量运算的坐标表示：若 已知 ，则 3.向量平行(共线)等价条件的两种形式： 2.向量的坐标表示 1） 2）若，则 知识回顾 问题1 已知，，怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以)·() =+ 又，， 所以 探究1 向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示： 若则 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 追问1 设则怎样用坐标表示？ 追问2 设，怎么用向量的坐标表示? ， = (两点间的距离公式) 平面向量数量积的坐标表示： 若则 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 追问3 如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为，那么怎么用坐标表示? 追问4 两个非零向量满足，怎么用坐标表示向量垂直的充要条件? 例1 若点A(1,2)，B(2,3)，C(-2,5)，则是什么形状？证明你的猜想。 解：在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形。证明如下： 因为 ， ， 所以 于是 因此， 是直角三角形。 探究2 向量夹角的坐标表示 问题2 设，是两个非零向量，其夹角为，已知，，那么如何用坐标表示？ 向量夹角与数量积的关系: 数量积的坐标表示: 向量模的坐标表示: =, = 设，是两个非零向量，其夹角为，已知，，根据向量的数量积的定义及坐标表示可得： 平面向量夹角的坐标表示： 追问：根据向量夹角的坐标公式，如何判断夹角为锐角、直角、钝角呢？ 1、当为锐角时，; 2、当为直角时，; 3、当为钝角时，; 例2 设，求以及的夹角（精确到） 解： ， 利用计算工具可得： 例3 用向量方法证明两角差的余弦公式 证明：如图, 在平面直角坐标系内作单位圆, 以轴的非负半轴为始边作角, 它们的终边与单位圆交点分别为则 由图可知 于是 课堂小结 1、知识点： （1）向量数量积的坐标表示： （2）向量垂直的充要条件的坐标表示: （3）向量夹角的坐标表示： 2、方法：化归与转化思想、数形结合思想 课后作业 基础巩固 （必做题） 1.已知，求， 以及 2.已知， 求， ， 3.设，利用计算工具，求的夹角（精确到） 4.求证：以为顶点的四边形是一个矩形 拓广探索（选做题） 5.用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式 $