（讲义）第6章 6.2 6.2.2 向量的减法运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2.2　向量的减法运算 学习任务 1．能通过向量的加法运算抽象出向量的减法运算．(数学抽象) 2．理解相反向量的概念，了解向量加法与减法的关系．(逻辑推理) 3．掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．(直观想象) 一架飞机由A地到B地，再由B地到A地． 问题：飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？ 知识点1　相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． (2)性质：①－(－a)＝a． ②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 知识点2　向量的减法 定义 求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.如图所示 几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|? [提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相反向量就是方向相反的向量． (　　) (2)向量与是相反向量． (　　) (3)零向量的相反向量仍是零向量． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________，＝________． a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a．] 类型1　向量减法的几何意义 【例1】　如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c． [解]　法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c． 法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c． 　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． [跟进训练] 1．向量可以写成： ①；②；③；④． 其中正确的是________(填序号)． ①④　[①＝；②＝－＝－()≠；③＝；④＝，故填①④．] 类型2　向量减法的运算 【例2】　化简下列各向量的表达式： (1)＋－； (2)(－)－(－)； (3)(＋＋)－(－－)． [解]　(1)＋－＝－＝DC． (2)法一：加法法则 原式＝－－＋ ＝(＋)－(＋) ＝－＝0． 法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝－－＋ ＝(－＋(－)＝＋＝0． 法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝－－＋ ＝(－)－(－)－(－)＋(－) ＝－－＋－＋＋－＝0． (3)(＋＋)－(－) ＝(＋)－(－)＝－＝0． 　向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． [跟进训练] 2．化简下列向量的表达式： (1)； (2)()＋()． [解]　(1)＝＝＝． (2)()＋()＝＝＋()＝＋0＝． 类型3　向量加减法的综合应用 【例3】　已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.求证： (1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|． [证明]　在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||． (1)在△ACM中，＝＝a－b． 于是由||＝||，得|a－b|＝|a|． (2)在△MCB中，＝＝a－b， 所以＝＝a－b＋a＝a＋(a－b)． 从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|． 　解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道． [跟进训练] 3．(1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量满足＝，则四边形ABCD的形状为________． (2)如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量＝________．(用a，b，c表示)． (1)平行四边形　(2)a－b＋c　[(1)∵＝， ∴＝，∴＝． ∴||＝||，且DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)在△AOD中，＝＝－a． 在△BOC中，＝＝c－b． 又在▱ABCD中，＝， 故－a＝c－b，即＝a－b＋c．] 1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则等于(　　) A．　　B．　　C．