微专题 平面向量的加减法运算（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 平面向量的加减法运算 题型一 向量加法的法则 1.向量加法的三角形法则： 如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a. 2.向量加法的平行四边形法则： 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则． -2- 3.向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连 平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角 4.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的； (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 1．（2025高一·上海·课前预习）已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【答案】作图见解析. 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 2．（2025高一·全国·课后作业）（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【分析】（1）应用三角形法则得出； （2）应用平行四边形法则得出. 【详解】（1）在平面内任取一点，作，，再作向量，则． （2）在平面内任取一点，作，，以OA，OB为邻边作，则． 3．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 【答案】作图见解析 【分析】 （1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法则画图即可. 【详解】 （1）作，则，如图（1）． （2）作，则，如图（2）． （3）作，则，如图（3）． 4．（2025高一·全国·课后作业）对如图中各组向量，，求作．    【答案】作图见解析 【分析】将向量首尾相接，则表示从起点到指向终点的向量，作图即可. 【详解】如图所示：    5．（2025高一·湖南·课后作业）如图，已知下列各组向量，，求作. (1)； (2)； (3)‘ (4) 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】应用向量的性质，将，作平移处理，使一个向量起点与另一个的起点或终点重合，结合三角形或平行四边形法则画出，注意共线向量只需将一个向量起点平移至另一个向量的终点，再连接两向量的另一个起点和终点即可. 【详解】（1）将的起点移至的终点，即可得，如下图： （2）将的起点移至的终点，即可得，如下图： （3）以，为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得，如下图： （4）将的起点移至的终点，应用三角形法则可得，如下图： 题型二 向量加法的运算律 1.向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：． 2.运算技巧： （1）多个向量相加时，可利用交换律和结合律，将“首尾相接”的向量组合，简化运算； （2）若向量共线，可直接利用三角形法则，将向量依次首尾连接，最终和向量的起点为第一个向量的起点，终点为最后一个向量的终点。 6．（2025高一·海南省直辖县级单位·月考） . 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】， 故答案为： 7．（2025高一·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法运算律即可求解. 【详解】. 故选：B. 8．（2025高一·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 9．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 10．（2025高一·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 11．（2024高一·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 题型三 向量加法法则的几何应用 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，将几何图形中的线段转化为向量，通过向量加法运算，求解线段长度、夹角或图形的形状。 关键技巧： 1.求共点线段和：优先用平行四边形法则（共起点），转化为对角线向量； 2.求首尾相连线段和：优先用三角形法则（首尾相接），简化为单个向量； 3.复杂图形（如多边形）：将图形拆分为多个三角形，逐步运用加法法则，转化为简单向量运算。 12．（2025高一·安徽·月考）如图，在平行四边形ABCD中， （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则， 故选：B. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的加法计算即可. 【详解】如图， 已知正方形的边长为2，， 则. 故答案为： 14．（2025高二·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 15．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 题型四 利用向量的加法运算解决几何问题 1.步骤：先将几何图形中的已知线段、未知线段分别表示为向量，再根据向量加法的法则和运算律，将未知向量用已知向量表示，最后通过向量模长、夹角等运算，求解几何量（边长、角度、面积等）。 2.常见应用： （1）证明线段平行、相等：通过向量加法得到对应向量相等（模长相等、方向相同），即可证明线段平行且相等； （2）求三角形、四边形的边长：将边长转化为向量模长，利用加法法则表示后，结合模长公式计算； （3）证明三点共线：若存在向量，且三点有公共点，则三点共线。 16．（2025高一·全国·课堂例题）如图，平面上有任意四点A，B，C，D，若，运用向量的加法证明．    【答案】证明见解析 【分析】根据向量加法运算分析证明. 【详解】由题意可得：， 即. 17．（2025高一·全国·单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】表示出，，相加结合已知，即可得出证明. 【详解】因为， ， 所以. 又因为，所以. 18．（2025高一·全国·课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】根据向量的线性运算即可求证. 【详解】证明：由题知，， 因此． 所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． 题型五 向量加法法则的实际应用 将实际问题中的“位移、力、速度”等矢量，转化为向量，利用向量加法法则求解合矢量（合位移、合力、合速度）。 常见场景及技巧： 1.位移问题：多个连续位移相加，用三角形法则（首尾相接），合位移为第一个位移的起点到最后一个位移的终点的向量； 2.力的合成问题：两个共点力相加，用平行四边形法则，合力为以两个力为邻边的平行四边形的对角线向量； 3.关键：先明确矢量的大小和方向，转化为向量后，再运用对应法则运算，最后将向量结果回归实际问题。 19．（2025高一·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 【答案】船是沿与水流的方向成的角的方向行进的. 【分析】作出图形，是水流方向，是垂直于河岸的实际方向，作平行四边形，其中是一条对角线，是平行四边形的一边，则是船行进的方向，由平行四边形进行计算可得． 【详解】作出图形，如图所示.船速船与岸的方向成角，由图可知水＋船＝实际，结合已知条件， 四边形为平行四边形，在中，水， 船，所以，所以， 从而船与水流方向成的角. 所以船是沿与水流的方向成的角的方向行进的. 20．（2025高一·河南周口·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 ． 【答案】 与水流方向成60° 8km/h 【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h. 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成60° 故答案为：与水流方向成60°；8km/h 21．（2025高一·全国·课后作业）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【答案】实际前进方向为南偏东，速度为. 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. 22．（2025高一·全国·课后作业）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及． 【答案】作图见解析 【分析】根据题意可作出向量、、以及. 【详解】根据题意，、、以及的示意图如下图所示： 题型六 相反向量 相反向量 (1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0 (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 23．（2025高二·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相反向量以及零向量的概念，可知①②③④正确，即可求解. 【详解】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确； 因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确； 因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确； 因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确. 所以①②③④正确，则正确的个数为4. 故选：D. 24．（2025高一·北京顺义·月考）下列说法不正确的是（    ） A．若向量方向相反，则与为相反向量 B． C．在平行四边形中，一定有 D．若两个非零向量满足，则与一定是共线向量 【答案】A 【分析】根据相反向量的定义判断A，根据向量的线性运算法则判断B，根据向量相等的定义判断C，根据共线向量的定义判断D. 【详解】若，为非零向量，则向量方向相反，但与不是相反向量，A错误； ，B正确； 因为四边形为平行四边形，所以向量方向相同，且，所以，C正确； 因为，故，又向量为非零向量，所以与方向相反，所以与一定是共线向量，D正确； 故选：A. 25．（2025高一·四川遂宁·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 【答案】B 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误， 大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确； 大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误， 零向量的模为0，故D错误. 故选：B. 26．（2025高一·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 题型七 向量减法的法则 1.向量减法的三角形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． 2.向量减法的平行四边形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义． 3.向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减 27．（2025高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 28．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 【答案】如图，(1) (2) 【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果. 【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； (2)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； 29．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量． 【答案】见解析 【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解. 【详解】由向量减法的三角形法则， 令,则, 令,所以.如下图中即为. 30．（2025高一·安徽芜湖·期中）作出以下图形 (1)如图1，已知向量 不共线，作向量. (2)如图2，已知向量，求作向量. 【答案】(1)详见解答 (2)详见解答 【分析】（1）根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可 （2）根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可 【详解】（1）如图所示，在平面中取任意一点作，则 （2）如图所示，在平面中取任意一点作，则 31．（2025高一·全国·课前预习）如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    【答案】作图见解析 【分析】方法一，首先利用平行四边形法则，作出，再利用向量减法，即可作出； 方法二，首先求得，利用相等向量进行转化，即可作出. 【详解】方法一　以为邻边作，连接，，    则，. 方法二　作    连接，则， 题型八 向量减法法则的几何应用 类比向量加法的几何应用，将几何图形中的线段关系、位置关系（平行、垂直、线段差）转化为向量减法运算，依托减法的三角形法则、平行四边形法则，通过向量运算求解几何量，实现“代数运算反推几何性质”。 关键技巧：明确向量减法的几何意义—— 表示从 的终点指向 的终点的向量（当 、 共起点时），结合图形特点选择对应法则。常见应用场景如下： 1. 求线段长度（线段差相关）： ①若两条线段共起点（如从点 出发的 、），则线段 的长度等于 ②若线段不共起点，可通过平移向量转化为共起点向量，再利用减法求模长，即 1. 证明线段平行、垂直： 平行：若 ，则 ，可证明 且 ； 垂直：若 ，即 ，可证明 。 1. 求解图形中点、分点相关性质： 若 为线段 的中点，则 ，转化为减法可得 · 整理得 · 三等分点、 等分点可类比此方法推导。 1. 易错提醒： 0. 注意减法方向：，其几何意义分别对应不同方向的线段，避免混淆； 0. 平移向量时，需保证向量的模长和方向不变，仅改变起点位置，确保几何关系不发生变化； 0. 结合平行四边形法则时，优先将减法转化为加法（），简化运算。 32．（2025高一·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 33．（2025高一·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .    【答案】2 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 【详解】由图知. 故答案为：2 34．（2025高三·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【分析】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 35．（2025高一·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 题型九 利用向量加减法运算化简表达式 利用向量加法的运算律、相反向量的性质，将表达式中的向量转化为“首尾相接”或“共起点”的形式，逐步化简，最终化为最简向量形式。 常用技巧： 1.“凑首尾”：利用加法交换律、结合律，将首尾相接的向量组合，抵消多余向量（如）； 2.“转减法为加法”：利用，将减法运算转化为加法运算，简化组合； 3.“消零向量”：若表达式中出现，直接化为，简化式子； 4.关键：化简时需注意向量的起点和终点，避免方向错误，最终结果需保留最简向量（无多余运算、无同类向量可合并）。 36．（25-26高一·全国·假期作业）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 37．【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 38．【多选】（2025高一·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 39．【多选】（2025高一·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减运算逐项分析即可. 【详解】因为，， ，. 故选：ACD 40．【多选】（25-26高三·江西南昌·期中）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 41．（2025高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则化简即可. 【详解】（1）； （2） . 42．（2025高一·广西钦州·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的加减法运算法则计算即可. 【详解】（1）易知； （2）易知； （3）易知 43．（25-26高一·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 题型十 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 44．（2024高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、. 【答案】， 【分析】根据平面向量加、减法的定义计算可得. 【详解】依题意，. 45．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，，，. (1)用表示； (2)用表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】利用向量减法与加法的规则即可用表示，用表示 【详解】（1）. （2）. 46．（2025高一·江苏淮安·月考）如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）直接根据图形和向量线性运算即可得到答案. 【详解】（1）. （2）. （3） （4）. （5） 47．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 48．（2025高一·全国·课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量. 【答案】 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】因为四边形ACDE是平行四边形， 所以，， 故. 49．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 【答案】，． 【分析】利用向量减法的意义求解即可. 【详解】，． 题型十一 向量的模及三角不等式 1. 向量的模的定义：向量的模（长度）记作，是非负实数，等于表示向量的有向线段的长度；零向量的模为0，单位向量的模为1。 1. 核心公式： （1）若为非零向量，； （2）三角不等式（核心）： ①； ②； 1. 不等式等号成立条件： （1）向量、方向相同（或其中一个为零向量）； （2）向量、方向相反（或其中一个为零向量）； （3）的等号成立条件与类似，可结合推导； 1. 应用：利用三角不等式快速判断向量模的取值范围，或比较模的大小。 50．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知和都是单位向量，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据向量的三角不等式进行求解即可． 【详解】根据向量的三角不等式得. 故选：C． 51．（2025高一·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 52．（2025高一·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系直接求得. 【详解】解∵， ∴，即的取值范围是． 53．（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义求解即可. 【详解】因为，，， 所以有，即， 当和同向或反向时等号成立，所以的取值范围是， 故选：D 54．（2025高一·全国·课后作业）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 3 【分析】根据向量的三角不等式计算求解得出最值. 【详解】， ， 当且仅当同向时取得最大值3，当且仅当反向时取得最小值1. 故答案为：1；3. 55．（2025高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 【答案】①②④ 【分析】利用平面向量的线性运算结合和向量、差向量模的关系可得出结论. 【详解】对于①，若，则与方向相同，①对； 对于②③，若，则与方向相反，②对③错； 对于④，若，则则与方向相同，④对. 故答案为：①②④. 56．（2025高一·全国·课后作业）证明：当向量，不共线时， (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，，以为邻边作一个平行四边形，则在中利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案； （2）在中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案 【详解】（1） 如图所示，设，，且向量，不共线， 以为邻边作一个平行四边形，则， 在中，因为，所以， 因为，所以， 所以. （2）由（1）向量，不共线，在中，因为， 所以， 因为，所以， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平面向量的加减法运算 题型一 向量加法的法则 1.向量加法的三角形法则： 如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a. 2.向量加法的平行四边形法则： 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则． -2- 3.向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连 平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角 4.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的； (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 1．（2025高一·上海·课前预习）已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 2．（2025高一·全国·课后作业）（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 3．（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 4．（2025高一·全国·课后作业）对如图中各组向量，，求作．    5．（2025高一·湖南·课后作业）如图，已知下列各组向量，，求作. (1)； (2)； (3)‘ (4) 题型二 向量加法的运算律 1.向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：． 2.运算技巧： （1）多个向量相加时，可利用交换律和结合律，将“首尾相接”的向量组合，简化运算； （2）若向量共线，可直接利用三角形法则，将向量依次首尾连接，最终和向量的起点为第一个向量的起点，终点为最后一个向量的终点。 6．（2025高一·海南省直辖县级单位·月考） . 7．（2025高一·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 9．（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 10．（2025高一·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 11．（2024高一·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 题型三 向量加法法则的几何应用 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，将几何图形中的线段转化为向量，通过向量加法运算，求解线段长度、夹角或图形的形状。 关键技巧： 1.求共点线段和：优先用平行四边形法则（共起点），转化为对角线向量； 2.求首尾相连线段和：优先用三角形法则（首尾相接），简化为单个向量； 3.复杂图形（如多边形）：将图形拆分为多个三角形，逐步运用加法法则，转化为简单向量运算。 12．（2025高一·安徽·月考）如图，在平行四边形ABCD中， （    ） A． B． C． D． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，，则 ． 14．（2025高二·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 15．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 题型四 利用向量的加法运算解决几何问题 1.步骤：先将几何图形中的已知线段、未知线段分别表示为向量，再根据向量加法的法则和运算律，将未知向量用已知向量表示，最后通过向量模长、夹角等运算，求解几何量（边长、角度、面积等）。 2.常见应用： （1）证明线段平行、相等：通过向量加法得到对应向量相等（模长相等、方向相同），即可证明线段平行且相等； （2）求三角形、四边形的边长：将边长转化为向量模长，利用加法法则表示后，结合模长公式计算； （3）证明三点共线：若存在向量，且三点有公共点，则三点共线。 16．（2025高一·全国·课堂例题）如图，平面上有任意四点A，B，C，D，若，运用向量的加法证明．    17．（2025高一·全国·单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 18．（2025高一·全国·课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    题型五 向量加法法则的实际应用 将实际问题中的“位移、力、速度”等矢量，转化为向量，利用向量加法法则求解合矢量（合位移、合力、合速度）。 常见场景及技巧： 1.位移问题：多个连续位移相加，用三角形法则（首尾相接），合位移为第一个位移的起点到最后一个位移的终点的向量； 2.力的合成问题：两个共点力相加，用平行四边形法则，合力为以两个力为邻边的平行四边形的对角线向量； 3.关键：先明确矢量的大小和方向，转化为向量后，再运用对应法则运算，最后将向量结果回归实际问题。 19．（2025高一·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 20．（2025高一·河南周口·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 ． 21．（2025高一·全国·课后作业）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 22．（2025高一·全国·课后作业）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及． 题型六 相反向量 相反向量 (1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0 (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 23．（2025高二·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2025高一·北京顺义·月考）下列说法不正确的是（    ） A．若向量方向相反，则与为相反向量 B． C．在平行四边形中，一定有 D．若两个非零向量满足，则与一定是共线向量 25．（2025高一·四川遂宁·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 26．（2025高一·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 题型七 向量减法的法则 1.向量减法的三角形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． 2.向量减法的平行四边形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义． 3.向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减 27．（2025高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 28．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 29．（2025高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量． 30．（2025高一·安徽芜湖·期中）作出以下图形 (1)如图1，已知向量 不共线，作向量. (2)如图2，已知向量，求作向量. 31．（2025高一·全国·课前预习）如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    题型八 向量减法法则的几何应用 类比向量加法的几何应用，将几何图形中的线段关系、位置关系（平行、垂直、线段差）转化为向量减法运算，依托减法的三角形法则、平行四边形法则，通过向量运算求解几何量，实现“代数运算反推几何性质”。 关键技巧：明确向量减法的几何意义—— 表示从 的终点指向 的终点的向量（当 、 共起点时），结合图形特点选择对应法则。常见应用场景如下： 1. 求线段长度（线段差相关）： ①若两条线段共起点（如从点 出发的 、），则线段 的长度等于 ②若线段不共起点，可通过平移向量转化为共起点向量，再利用减法求模长，即 1. 证明线段平行、垂直： 平行：若 ，则 ，可证明 且 ； 垂直：若 ，即 ，可证明 。 1. 求解图形中点、分点相关性质： 若 为线段 的中点，则 ，转化为减法可得 · 整理得 · 三等分点、 等分点可类比此方法推导。 1. 易错提醒： 0. 注意减法方向：，其几何意义分别对应不同方向的线段，避免混淆； 0. 平移向量时，需保证向量的模长和方向不变，仅改变起点位置，确保几何关系不发生变化； 0. 结合平行四边形法则时，优先将减法转化为加法（），简化运算。 32．（2025高一·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 33．（2025高一·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .    34．（2025高三·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 35．（2025高一·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 题型九 利用向量加减法运算化简表达式 利用向量加法的运算律、相反向量的性质，将表达式中的向量转化为“首尾相接”或“共起点”的形式，逐步化简，最终化为最简向量形式。 常用技巧： 1.“凑首尾”：利用加法交换律、结合律，将首尾相接的向量组合，抵消多余向量（如）； 2.“转减法为加法”：利用，将减法运算转化为加法运算，简化组合； 3.“消零向量”：若表达式中出现，直接化为，简化式子； 4.关键：化简时需注意向量的起点和终点，避免方向错误，最终结果需保留最简向量（无多余运算、无同类向量可合并）。 36．（25-26高一·全国·假期作业）化简： （1） ； （2） ． 37．【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 38．【多选】（2025高一·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 39．【多选】（2025高一·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 40．【多选】（25-26高三·江西南昌·期中）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（2025高一·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 42．（2025高一·广西钦州·月考）化简： (1)； (2)； (3)． 43．（25-26高一·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 题型十 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 44．（2024高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、. 45．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，，，. (1)用表示； (2)用表示. 46．（2025高一·江苏淮安·月考）如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 47．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 48．（2025高一·全国·课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量. 49．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 题型十一 向量的模及三角不等式 1. 向量的模的定义：向量的模（长度）记作，是非负实数，等于表示向量的有向线段的长度；零向量的模为0，单位向量的模为1。 1. 核心公式： （1）若为非零向量，； （2）三角不等式（核心）： ①； ②； 1. 不等式等号成立条件： （1）向量、方向相同（或其中一个为零向量）； （2）向量、方向相反（或其中一个为零向量）； （3）的等号成立条件与类似，可结合推导； 1. 应用：利用三角不等式快速判断向量模的取值范围，或比较模的大小。 50．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知和都是单位向量，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 51．（2025高一·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为 . 52．（2025高一·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 53．（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（2025高一·全国·课后作业）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 55．（2025高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 56．（2025高一·全国·课后作业）证明：当向量，不共线时， (1)； (2)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $