（讲义）第6章 6.2 6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　向量数量积的运算律 学习任务 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理) 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算) 我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律．例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb． 根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由． 知识点1　向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点2　数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a·b＝b·c推不出a＝c． (　　) (2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________． [答案]　－7 类型1　求数量积 【例1】　已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)． [解]　(a＋2b)·(a＋3b) ＝a·a＋5a·b＋6b·b ＝|a|2＋5a·b＋6|b|2 ＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2 ＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192． 　根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [跟进训练] 1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． －6　[由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝， 所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝＝3－2×－8＝－6．] 类型2　与向量模有关的问题 【例2】　(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|； (2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b． [解]　(1)由题意可知 a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1， 所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝a2＋4a·b＋4b2 ＝4＋4×1＋4×1＝12， 因此|a＋2b|＝2． (2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2， 即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0． 　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [跟进训练] 2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|． [解]　因为|2a＋b|＝， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10． 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)． 类型3　与向量垂直、夹角有关的问题 【例3】　(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－ (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围． (1)B　[由题意知，＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2， 因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0， 即tn2＋n2＝0，所以t＝－4．] (2)[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0． 当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＞0且k≠1． [母题探究] 将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． [解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0． 当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1． 　求两向量夹角的方法 (1)一般是利用夹角公式：cos θ＝． (2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． [跟进训练] 3．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a