6.2.4 向量的数量积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.4向量的数量积 白题 基础过关 限时：40min 题组1向量的数量积的定义及运算律 题组3向量的模 1.·(2025·广东广州高一期中)若1m1=4, 7.·(2025·广东深圳高一期中)已知4，b夹 m=6,m与n的夹角为2 ,则m·n=( 角为2 ,且1a1=2,1b1=4,则12a+361等于 () A.12 B.123 A.4√13 B.47 C.-12√3 D.-12 C.2 D.10 2.(多选)(2025·陕西榆林高一月考)关于 8.*(2025·湖南长沙一中高一期中)已知a,b 平面向量a,b,c,下列说法不正确的是( 为单位向量，且1a+b1=1,则12a-b1= A.(a-b)·(a+b)=a2-b2 题组4向量的夹角 9.(2025·山东日照高一期末)已知a,b为 B.(a+b)·c=a·c+b·c 单位向量，且13a-5b1=7,则a与b的夹角为 C.若a·b=a·c,且a≠0，则b=c ()》 D.(a·b)·c=a·(b·c) T 2T A. B. 3.(2025·江苏徐州高一月考)已知向量a 3 3 与b的夹角为120°，且1a|=1b1=4,那么b· T C.6 5π 0.6 (3a+b)的值为 10.*(2025·河南南阳高一月考)若向量a,b 题组2投影向量 满足Ial=2,1b1=√3，且a·b=1,则向量b 4.·(2025·江苏淮安高一月考)已知1a|= 与b-a夹角的余弦值为 （) 25161,且清足(a,b)-则a在b上的投 A.5 B.2V5 15 15 影向量为 5 C.3 25 D. A.√3b B.-3b C.3b D.-3b 11.*★（2025·湖北武汉高一期末)已知 5.*(2025·湖北黄石高一期末)已知向量a lal=2,e为单位向量，且向量a在e上的投影 为单位向量，向量b在a上的投影向量 向量为-√2e,则a与e的夹角为 为-2a,则a·b= ( ) 题组5向量的垂直问题 D.2 1 A.-2B.-1 C.0 12.*(2025·安徽宿州高一期末)设a,b是 平面内的两个单位向量，若a⊥b,则(a+ 6.(2025·浙江台州高一月考)已知1a|= b)·b的值为 ( 6,1b1=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影 A.-√2 B.-1 向量是 C.0 D.1 第六章黑白题007 13.*(2025·广东佛山高一期中)已知单位19.*（2025·四川广元高一期末)如图，在 向量a,b的夹角为60°，则在下列向量中，与 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1,AE+ b垂直的是 BE=O,点F为边BC上靠近点B的三等 A.a+2b B.2a+b 分点 C.a-2b D.2a-b (1)求证：CE⊥AF; 14.*(2025·湖北十堰高一期中)若a,b是 (2)求∠AFC的余弦值. 非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a与b的夹角是 ( A. B. T 6 T C.3 D. 5T 6 15.*(2025·浙江杭州高一期中)已知e1,e2 为平面中的单位向显，满足6，·。，若 a=2e1+e2,b=e1-e2,且a⊥b,则实数 入= 题组6平面图形中的数量积问题 16.·(2025·山东淄博高一月考)在△ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若BA· 重难聚焦 BC=AB.AC,则△ABC的形状是 ( 题组7有关向量夹角的参数问题 A.等腰三角形 20.*(2025·河北石家庄高一月考)已知 B.锐角三角形 单位向址a,6的夹角为，6为实数，则 C.直角三角形 “向量2a+kb与向量3a-b的夹角为锐 D.等腰或直角三角形 角”是“-√6<k<√6”的 17.#在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,BC= A.充要条件 CD=DA=2,若E为BC的中点，则A元.AE= B.充分不必要条件 ( C.必要不充分条件 A.√5 B.3 D.既不充分也不必要条件 21.**(2025·四川成都高一期末)已知两个 C.23 D.12 向量e1,e2满足|e1|=2,|e2l=1,(e1,e2〉= 18.*(2025·湖南湘潭高一期末)已知边长 为4的菱形ABCD的一个内角为写，则店· 3,且向量Ae,+5e,与4e,+Xe,的夹角为钝 角.则实数入的取值范围是 AD= 必修第二册·RJ黑白题008 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2025·黑龙江大庆高一期中)若单位向5.*(2025·河北邯郸高一月考)已知a与b 量a,b满足|a+2b1=-2√3a·b,则1a+b1= 均为单位向量，其夹角为0，若1a+b1>1,1a- b1>1,则0的取值范围是 () ( A.1 B.3 A.(. c1或 n或 2.(2025·湖北宜昌高一期末)已知△ABC 6.★（多选）(2025·辽宁大连高一期中)如图 所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=6,AC= 是边长为4的等边三角形，点D满足BD= 5,点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确 入BC(0<入<1)，E为AC的中点，若DA.D= 的有 ()》 6,则入等于 ( D 4 B.2 3 A.IAD1≤10 3.*★（多选）(2025·山西大同高一期末)已知 B.AC·AB=18 e1,e是单位向量，且e,·e-2若向量a满足 1 C.当M店，A花=18时，in∠DAB=310 10 e1·a=2,则下列选项正确的是 D.AB·AD的最大值是36 A.le-e21=1 7.*(2025·陕西榆林高一月考)在△ABC中，P。 B.e1与e1-e2的夹角为，2 满足配=}应，若对于B边上任一点P,恒有 P店.PC≥PB.P。C,则△ABC为 () C.e在e,上的投影向量的模为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 D.a在e1上的投影向量为2e C.直角三角形 D.等腰三角形 4.*（2025·湖南邵阳高一期末)在矩形 8.*(2025·福建福州高一期中)已知a,b是 ABCD中，AB=2AD=4,P是矩形ABCD区域内 两个不共线的向量，若对任意的m,n∈R,Ia+ 一点（含边界），点Q与点P关于点B对称，则 1-mb1的最小值为，na+b1的最小值为 P.P可的最大值为 ( 5,若a·b=-1,则a,b的夹角为 ( A.9 B.6 2π C.7 D.8 N. B.3m 7w C. 4 12 D.Sm 6 第六章黑白题009 9.*（2025·江苏苏州高一月考)如图，在12.整(2025·山东威海高一期末)在平行四 △ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB= 边形ABCD中，E为AB的中点，点F,G满足 EF=2,CA=CB=3,若AB·A正+AC·AF=7,则 FD=2A,G元=2BG EF与BC的夹角的余弦值等于 (1)用AB,AD表示E京，EG: (2若即G求8 (3)若AB=AD=1,求3(E+EG)·BD+1ACi 的取值范围 (第9题) (第10题) 10.*(2025·广东江门高一月考)如图，已知 点M是边长为2的正方形ABCD内部（包括 边界)的一动点，点P是边CD的中点，则 IMP-MB1的最大值是 ;M证. (M4+MB)的最小值是 11.整(2025·山东省实验中学高一月考)已 知平面向量a,b的夹角为60°，且1a-b1=1. (1)求a·b的最大值； (2)求(a-b)·(a+2b)的最大值 压轴挑战 麟(2025·江苏苏州高一期末)富比尼原理， 又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不 同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关 系，从而达到解决问题的目的.如图，在边长为 2的正九边形ABCDEFGHⅢ中，AE·A1的值 为 ;由向量关系A正=A+BC+CD+D尼， 可得A正·i=(AB+BC+CD+D)·,进而 得cos 7行+c+m+的值 为 必修第二册·RJ黑白题010A动=子应，A,B正确；B币=-子应，=-励，故C,D错误，故选AB, 4.D解析：成-武=店-市-（成+成）=店-本-(+动) }应-2动 5.子舞析：在△48c中，成-3励，店-2武店a,花-b, 成-成+成成+（号衣）子（成-号吕成 6.2-2a解折：子[宁（2x+0)-(a-b]子(a+20)-(e b]=号(36-3a)=2h-2a 7.4b-3a解析：因为3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=x+3a-4b=0,所 以x=4b-3a. 8.B解析：当b=0,a≠0时，满足a与b共线，但是不存在实数入使得 a=入b,故充分性不成立； 存在唯一实数入使得a=入b,则a与b共线成立，即必要性成立. 故“a与b共线”是“存在唯一实数入使得a=入b”的必要不充分条件. 9.A解析：对于A选项，B励=B武+Ci=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b= AB,故A,B,D三点共线，A对； 对于B选项，因为A店=a+5b,B元=-2a+8b,所以A店，B元不共线，即A, B,C三点不共线，B错； 对于C选项，因为A元=A2+B武=(a+5b)+(-2a+8b)=-a+13b,Ci= 3a-3b,所以A亡，Ci不共线，即A,C,D三点不共线，C错； 对于D选项，因为B武=-2a+8b,Ci=3a-3b,所以B元，Ci不共线，即 B,C,D三点不共线，D错. 10.A解析：由e1,e2不共线，易知向量e1+e2为非零向量.由a∥b, 可知存在实数入，使得2e1-e2=入(ke1+e2),即(2-Ak)e1=(A+1)e2 由e1,e2不共线，必有2-Ak=入+1=0.否则，不妨设2-Ak≠0，则e1= 2一2由两个向量共线的充要条件知©1,2共线，与已知矛盾.由 入+1 2-Ak=0,解得k=-2 A+1=0, 11.C解析：O币=Oi-A,.0市-Oi=B成，=Bi,点P在线 段AB的反向延长线上 黑题应用提优 1.C解析：因为a∥b,所以a=-2b或a=2b,故|3a+2b1=|2a|= 21a|=4或13a+2b1=|4al=41al=8. 2.ACD解析：由相反向量的定义可知A正确；与BC共线的单位向量 -,故B错误；由向量共线定理可知，A店，B武共线，又A,B元有 IB元 公共点B,则A,B,C共线，则C正确；由A店=2B武=2A花-2A成可得 本元际需导晚 3.AD解析：对于A,C+T市=P+T市=T=D,A正确； 对于B,E感-R戒=R心-Rd=Q元=-Pi,B错误； 对干c市店动感励d成成c结误 对于D,本=花=弦-感5+1店，D正确，故选AD S71 2 4.D解析：因为a=入b,入≠0，所以Ia+入b1=I(入+A)b|=I2入IIb1, Ia+入Ib1=Ab+AIb1=(1A|+入)1b1,当A>0时，|a+Ab|=Ial+ AIb1,当A<0时，la+Ab1=-2入1b1,Ia|+入Ib1=0,此时1a+Ab1≠ 参考答案 |a|+入Ib1,故“a=入b”不是“|a+Ab|=Ia|+入Ib|”的充分条件 因为1a+Ab1≤Ia|+|Ab1,若1a+Ab1=|a|+AIbl,则Ia+Ib|≤ |a|+IAb1=Ia|+1入I1b1,当且仅当a,Ab方向相同时取到等号，则 入≤1入I恒成立，故a∥b,但两个向量间的系数不确定，不能推出“a= Ab”. 综上可知，A≠0，那么“a=Ab”是“1a+Ab1=Ia|+入|b1”的既不充分 也不必要条件 5.B解析：若D为BC中点，由题设A=O币-Oi=A(A+A元)=2AAd, 如图所示，易知直线AP是△ABC的一条中线所在的直线，所以直 线AP一定通过△ABC的重心 (第5题) (第6题) 6.D解析：由20+3成-m0成得号0+号成=-号0成，设 o成-励，则励号oi成，即0-a-i动- 应A,B,D三点共线，如图所示：心与成反向共线m心 m .10i1m,10i15。m.Sa4oB_10i1_m-4 10流i5动1m*55e1动*7 0, 5 →m20 3 四方法总结 若A,B,C三点共线，0是平面内不在A,B,C所在直线上的任意 点，则有0d=mOi+nO,其中m+n=1. 7.=u+5解析：因为0A=Aa+b,0店=3a-2b,0元=2a-3b,所以A店= O成-Oi=(3-A)a-(2+u)b,B武=0元-0成=-a-b.若A,B,C三点共线， 则A∥B武，即3-A=-(2+),化简可得A=u+5. )解标：因为店+2+7店+元+ 8Pi=0,所以P-Pi+2Pi+7Pi+P元+ 8Pi=0,所以Pi+8Pi+P元+8Pi=0,所B 以Pi+P元+8Pi+8Pi=0. 取E,F分别为BD,AC的中点，如图，则2P市+16P立=0，即P市= -8成，所以成4成-8成，所以店。。成 因为Q为AB的中点，所以QE∥AD,QF∥BC.又B武=2Ai,则AD∥ BC,所以QE∥AD,QF∥AD,所以Q,E,F三点共线，所以E= 2动，亦：c=市，所以成--成-市动：子动，所以 店成，所以成=店动号动，所以11= 多布，所以点 IADI 9 9.10解析：连接AB,如图所示，因为AC1 BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB 的中点，所以Mi+M店=(Md+Oi)+(Mò+ O)=2Md,所以1M+M店+2成1= 12Md+2(Md+0元)1=14Md+20元1≤ 41M01+210C1=4×2+2×1=10,当且仅当M,0,C共线且M0,0C同 向时，等号成立 黑白题003 压轴挑战 D解析：设Bi=AB武，则1A店+AB武1mn=IAB+Bm=lAmn=2,即 当AH⊥BC时，AH=2. 又AB=AC=22,则BC=4,所以AB2+AC2=BC2,故△ABC为等腰直角 三角形. 由Ad=sin2a,A店+cos2a·A元=(1-cos2a).A+cos2a·A元，则Ad- A店=cos2a·(Ad-A),即B=cos2a.B元，所以P,B,C三点共线 又ae[g],则sae[片 子]若D,B为BC的两个四等分点，N 为BC中点，如图所示，则P在线段DE上B一 运动，且AN=2,BD=1,BE=3,若MP⊥ BC,则MP/AN,又=应，此时BP子BN=子e1,3,故上述 4 情况1=子AN=手，易知M证=VD+(E-BP √否由图可知：P与E重合时，耐妮综 上，耐的取值范假为[专，] 6.2.4向量的数量积 白题 基础过关 1.D解析：因为ml=4,a1=6,m与n的夹角为，则mn=46× （3)-12 2.CD解析：对于A,由向量的运算法则，得A正确；对于B,向量数量 积满足分配律，B正确；对于C,由a·b=a·c,得a·(b-c)=0,又 a≠0，则当a1(b-c)或b=c时，满足题设，C错误；对于D,(a· b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，等号不一 定成立，D错误 3.-8解析：b·(3a+b)=3a·b+b2=3×4x4×cos120°+42=-8. 4.D解标：因为1al=23b1,《a,b)=石，所以a在b上的投影向量 为a1mna,)合8ma,-25=誓b=-h 5.A解析：由题意可得向量b在a上的投影向量为“·=-2a, 所以2=-2，又向量a为单位向量，所以a·b=一2 6.子解折：设与6方向相同的单位向量为e,则e=总则a在6 4 方向上的投影商量为1aom能-（日）治费子点 7.B解析：12a+3b1=√(2a+3b)7=√4a2+9b2+12a·b= √449x16+12x2x4(2)-47. 8.√7解析：因为a,b为单位向量，则1a+b12=a2+b2+2a·b=2+2a· 1 b=1,所以a·b=-2,所以12a-b1=(2a-b= V4@-4a6*6-4-4）1=7 9.B解析：因为13a-5b1=7,所以(3a-5b)2=49,所以9a2-30a· +25=9又因为a,b为单位向量，所以ab=分所以m(a, )=子又因为0≤a,o)≤，所以(a,b)= 10.B解析：因为1a1=2,1b1=√3，且a·b=1,所以1b-a1= 必修第二册·RJ √(b-a)7=√62+a2-2a·b=√3+4-2=5， 设指量与的夹角为我划96-简 3-12√15 √/1515 1.2 解析：由lal=2,e为单位向量，且向量a在e上的投影向量 ie2·e=-2e,可得a·e=-2, 为-2e,可得4·e. 所以a与6的夹角余弦值为oaa6-i-号周为ae砂e [o,1,所以a,e)= 12.D解析：因为a与b是单位向量，且a⊥b,所以a·b=0,所以(a+ b)·b=a·b+b·b=0+1=1. 13.D解析：由已知可得a·b=Ia·1b1·cos60°=1×1× 11 2-2 A:因为(a+2b)·b=ab+2b2=1 2x1:0,所以本选项不符 合题意； :b=2a·b+b2=2×号+1=2≠0，成 合题意； Cc:因为a-20)bab-2冰号-2x1- 2≠0，所以本选项不 符合题意； D:因为(2a-b)·b=2a:0-62=2x号1=0，所以本选项符合题意 14.B解析：设a与b的夹角是a,:(a-2b)⊥a,.(a-2b)·a=0,即 1a12-2a·b=0①. 又，(b-2a)⊥b,.(b-2a)·b=0,即1b12-2a·b=0②. 由02知la1=1b1,ab=子1a12=子b13,csa .a·b 2 lallbl a2=2,所以a与b的夹角为3 15.子解折：因为a1b6,且616=子e=1e=1,所以a (2e1+e2)(Ae1-e2)=0,即2Ale112-2e1·e2+e1·e2-le2I2=0,所 以2-2xx1=0,解得A-子 4 16.A解析：由B.B武=A店.A心，得AB·(A花+B武)=0，取AB中点M, 因为威=子d+a动，则2a=0,即AB1c,所以△ABc是 等腰三角形. 17.D解析：如图，由题意可知△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，4C=25,根据向量数量积的几何意义可得A花.A正=A衣=12. D 78.8或-8解析：由题可知，LBAD=3或兮若LBMD=,则A. A市=1A11Ad1 cos LBAD=4×4×2 8：若∠D,则应· -a2B0=x(号）-& 19.(1)证明：因为A应+B成=0，所以A应=-B配，所以AE=EB,所以C成= c+应=-+2应 因为点F为边BC上靠近点B的三等分点，所以2BF=FC,所以 黑白题004 市-+成=成+(a心)=}花+子应 因为LBAC=90°，AB=AC=1,所以A店·A花=0，所以C应.A市= ()·(号花+子脑）号衣就.+ 子=0，所以d正1位，即CB⊥A (2)解：由题意可得成·成=（号花子）·（成-）： 号衣号戒.+号子 1号花+子=√兮号应 )+号+。花店=，c=aC=2,所 以cosLAFC= .戒3而 IFAIIBCI 5x2 10 3 重难聚焦 20.B解析：由单位向量a,b的夹角为号，可得ab=0,1a=1b1=1 若向量2a+b与向量3a-kb的夹角为锐角，则(2a+b)·(3a- kb)>0且向量2a+kb与向量3a-kb不共线. 由(2a+kb)·(3a-kb)=6a2-2ka·b+3ka·b-k2b2=6-k2>0, 得-√<k<√6； 由向量2a+b与向量3a-b不共线，得-2k≠3k,即k≠0.所以由向 量2a+kb与向量3a-b的夹角为锐角，得-√6<k<√6且k≠0.易知 当-√6<k<√6时，向量2a+kb与向量3a-kb的夹角大于等于0°且小 于90°. 综上可得“向量2a+b与向量3a-仙的夹角为锐角”是“-√6<k< √石”的充分不必要条件 21.(-20,-2w5)U(-2W5,-1)解析：若入e1+5e2和4e1+入e2的夹角 为纯角，则(Ae1+5e2)·(4e1+e2)<0,且不平行，所以(Ae1+ 5e2)·(4e1+e2)=16M+5入+(A2+20)e1·e2=21A+(A2+20)<0, 解得-20<入<-1， 若向量46+5：和4，+h,平行，则分三，得A=25综上可 知，A的取值范围为(-20，-2W5)U(-2W5,-1). 黑题应用提优 1.A解析：因为单位向量a,b满足1a+2b1=-25a·b,所以 {a12t41b12+4a·b=12(ab)2,即2(a:b)2-4a·h-5=0解 la·b<0, (a·b<0, 得a~b=-分，因此a4b1=√1@+10+2a6=v2*2a-6-l 2.B解析：因为B动=入B武，0<A<1,所以Di=B-B=B成-AB武，D元= B元-Bi=B元-ABC=(1-A)B元 又因为E为AG的中点，所以成=+证=成+花-成+号（心 i=(D心+i-+(1-2A)d 又因为△ABC是边长为4的等边三角形， 所以耐.成-1号=4x4x=8,醉=2=4x4 16,B衣=B2=4×4=16.则D·D成=(Bi-AB元)· 威+(1-2)B庇+(1-3A)B·Bd-A(1-2A)B恋_ 2 2 参考答案 16+8(1-3A)-16A(1-2λ=16A2-20A+12. 2 又因为.7店=6,0<A<1,所以1612-20M+12=6,解得A=之或 3 λ4 3.ACD解析：对于A,e1-e,l=V+吃-2e1e=√1+1-2x2 1,故A正确， 对于B,cos(e1,e1-e2)= 〉1分 lelle-e2I 1x1 (e1,e1-e》e[0,m,〈e1,62》=号，放B错误； 对于C,e,在e上的投影向量的模为1e1os(e1,e,)=e 子，故C正确： 对于D,a在上的提影向基为音2%故D正晚 4.D解析：因为点Q与点P关于点B对称，D 所以P=2P市，则P·P=2P.P戒如图， 取AB的中点0，连接P0,则P=P⑦+Oi, P成=Pi+0成=Pi-Oi,则Pi.P形=(P而+ 0i)·(Pi-0=P-0=P-4. 当点P与点C或点D重合时，1P⑦1取得最大值22，则P-4≤4， 从而P.P的最大值为8. 5.D解析：因为a与b均为单位向量，其夹角为0，由1a+bI>1,可得 （a4b31,所a2+2a:b+b1,所以a·b>号，所以om号 由1a-b1>1,可得(a-b)2>1,所以a2-2ab+b2>1,所以a·b<2, 所以mc所以m6c}又0≤9≤，所以写<c所 以0的取值范服是（行，2号）】 6.AB解析：对于A,IAi1=1A花+C1≤1A花1+ 1C⑦1=10，当且仅当A,C,D三点共线时取等 号，A正确； 对于B,过C作CE⊥AB于E,交⊙C于F,G,如 图，则E是AB中点，AE=3,CE=4,A花·AB= |A应A1=18,B正确； B G 对于C,当AB·A⑦=18时，1A11A1·cosLDAB=18,解得A⑦1· cos∠DAB=3,由选项B知，1A1cos∠DAB=A正，此时点D与F,G 之一重合， 当点D与F重合时，EP=9,A0=3V⑩，LDAB=300,当点D与 G重合时，EG=1,AD=而，sin DAB=0,C错误 对于D,A花.A市=A花.(A元+C)=A店.A花+.C=18+A店.C≤ 18+1A1C1=48,当且仅当C与A同向共线时取等号，D错误. 7.B解析：取BC的中点D,DC的中点E,连接 P PoD,AE,如图所示，则Po方·Po元=(Po方+ Di)·(P。i+D元)=(Poi+D)·(Pi-BD它C D)=P-D,同理P店.P元=P-D,因为P店.P元≥P店， P。元，所以P-D≥P。-D,即P≥P。,所以对于AB边上 黑白题005 任意-点P春有ò≥1，因此DLAB又-号应，D为 C中点.E为c中点，所以治器子所以ADA.审 ∠BAE=90°，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三角形.又AB与AC 的大小无法确定，所以无法判断△ABC是否为等腰三角形. 8.A解析：设a,b的夹角为0(0<0<π).1a+(1-m)b1取得最小值 Ia|sin(可通过几何意义理解，la+(1-m)b1的最小值就是a在垂直 于b方向上的授影长度)，已知1a+(1-m)b1的最小值为5 ,所以 1an0=夏同理，nm*bl取得最小值b1血6，已知na+b的最小 值为5，所以1b1sin0=√3. 由向量数量积公式a·b=lallb1cos0=-1. 将1a1a血0=与b1s如0=写相案可得1a161smg-厅-号 2 、将1al山h1cos0=-1与1a11b1sim20=2相除可得cC0-2,即 1-c0s203 cos 0 2 设ce0=t,则=-3整理得22P=-36,即2P-3-2=0.因式分 解得(2+1)(：-2)=0，解得：=号或：=2（含去）. 因为cm0=子，且0<0cm,所以0=2 -解析：由题图知A应=A+成，A市=A应+B成，A市.A正+A花.A A店.(A成+B配)+A花.(A成+B=A+A店.B配+A花.A店+A花.B= 7,又(A花-A)2=A衣-2A元.A+A=B衣=9，且CM=3,AB=2, .A花.A=2,.A店·B+A花.B市=1，而AB.B成=A店.(-B),即 成.（成=成.成1，又F=2,cB=3, s成，d=分 10.5-2解析：1M1-1M1≤1M-M成1=D B=√5，当点M与点B重合时等号成立； 如图所示，取AB中点Q,连接PQ,取PQ的中 点为N,连接MN,则M壶.Md=(M+N)· (M+Nd)=1M12-1P12. 又因为点M为正方形ABCD内部（包括边界） Q 一动点，所以M.(M+M)=2M.M=2(1M2-1P12)= 2(1M12-1)≥-2， 当点M与点N重合时，取得最小值-2. 11.解：(1)1a-b1=1→(a-b)2=1→a2+b2-2a·b=1→a2+b2-2|al· b12-1→1a1241612-1a1b1=1,因为a12+1b12≥21a 1bl,所以1+|al·Ib1≥21al·Ib1→la·Ib1≤1， 而a:b=1a1,bl·分≤子，所以a:b的最大值为分 (2)(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2=a2+al;1b1-262, 2 设1al=m,1b1=n,由(1)可知1a12+1b12-|al·1b1=1,即m2+ n2-mn=1,显然m≠0，n≠0，因此(a-b)·(a+2b)=m2+-2n2= 2 \2m-2 m受2（只）+ m2+n2-mn 必修第二册·RJ o心 2+-2 -=1+ -2 n t2-t+1 1(t-2)2+3(t-2)+3 3 3 26 设-2=(k-2),则1+2+3+3 =1+ 2一，因此要想(a-b)· ++3 (a+2b)有最大值，一定有k>0, 因为9323=25+3（多且收台=2时取号子。 k 3 2≤1+ 3x1 即k=√3时取等号，所以1+33/ =-因 k+ 23+2 k 此(a-b)·(a+2b)的最大值为5-7 12解：(1)如图，由题意知，成--破办-应，成-+感 }d (2)若1G,则.成=-0，所以（兮市}应）·（兮动 宁)a国号号离部号 AB 2 AD3 (3)设LBAD=,6∈(0，T), 因为成，成}市}++兮动：号动所以3（成 E武)·B+1A花1=2A市.(Ai-A)+√（AB+A)2=2(A市-Ad, A)+√A2+2AB.A+A=2(1A市12-1A市11A店1c0s0)+ √B12+21AB11A1cos0+1Ad12=2(1-cos0)+V2+2cos0-2× 2r29+√2x2a2号=4(1-w2号）+2as号 令m号-，则3(+商，+d=-4+2+4,e(0.). 因为244(）》厂e(0.可箱-24。 (,￥] 所以3(E承+E武)·B励+1A花的取值范围是 (2.] 压轴挑战 1 22 解析：如图，取AI的中点O,连接E1,EO,由正九边形为轴对称 图形，得EI=EA,E0⊥AI, 因此证.=(4d+0)·=A0.i+0成.i=2×1+0=2. 正九边形每个内角的弧度数为写任意一个内角的外角为西，（应， 商-gd,-gd,-gd. 黑白题006 3π2π-π 999 因此2=A正.i=(A花+B武+C+D成)·=A店.i+B元.+C.+ Dx2cm222x2co 0 6.1-6.2阶段综合 黑题阶段强化 1,A解析：因为A成=AA花-B励，所以A成+B励=A=AA花.又>1，A,A心 有公共点，所以A,C,D三点共线，所以充分性成立；若A,C,D三点共 线，则存在实数k≠0使得A市=kA心，即A店=kA心-Bi,当k≤1时明显 不满足A>1,所以必要性不成立.即“A店=入A心-B(A>1)”是“A,C, D三点共线”的充分不必要条件 2.C解析：四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，LDCG+ ∠GCE=180°，即D,C,E三点共线，AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥ HF,即1A=1E,C=F元，A与F供线，ABD正确； 对于C,若Bi与E共线，则必有∠BDC=∠HED,即∠CCE= 2∠BDC=2∠HED,该条件不一定成立，如∠GCE=90°时，∠HED≠ 45°，故Bi与E共线不一定成立，故选C. 3D解析：由已知得市=号(+恋)=子(3应+花)=之应 }花设动-A动，所以证花，又C0,E三点共线，所 以品=1，解得A=2,所以市=子*花-子×}+ 成-成又成-威+花-衣-}应，AB=月，4c=1,所 以d.成=（任脑：4花）·（成）4衣+名应 花迹=名应.花名.花则感花=6动 E元，故t=6. 4.AC解析：对于A选项，向量a,b,c都是单位向量，a-b-√2c=0,则 a-b=√2c,所以1a-b1=21cl=√2，A对； 对于B选项，在等式1a-b1=√21c1两边平方可得a2-2a·b+b2= 2c2,即2-2a·b=2,则a·b=0,则a1b,所以1a+b12=a2+2a·b+ b2=2,故1a+b1=2,B错； 对FC选现图为ar=0则：-经。子所以a=(）小 ae+(）b.所以1ae=(受)a+(-经）b° (+)）ca…+(-2)6=()）+(-）°=3， 故1a+b+cl=3,C对； 对于D选项abe=ab-(停。空）-()+（经）b, 若a+6e与b共线，则存在AeR,使得a+b-c=Ab,即(1-受） 参考答案 a+(1号）b=b,可得a=[(2A-(3+221b,即a/B,这与 a⊥b矛盾，假设不成立，D错. 5.C解析：由题意得，1ml=1n1=1,Im+xn1=√(m+xn)了= /x2+2xm·n+1=√/(x+m·n)2+1-(m·n)2, 4m·ns 当=m·n时，有最小值，即-m·n=5 4,则m在n 上的投影向量为m:m. 4n. 6.ACD解析：如图，连接EP,FP,EQ,FQ,因为E,F,P,Q分别为AB, CD,AC,BD的中点，所以FP∥AD∥EQ,EP∥BC∥FQ,FP=EQ= AD,P=FQ=BC,则四边形POE是平行四边形，即直线BF 1 一定过PQ的中点，故C正确； 侧成-+成：之（市+=子（花+动+店-花）=之（店- D心)，则A选项正确： 成-成+成子（市-），则成，成（市+）·（市-） (动-)=子×(32-4)=子则B选项结误： D.P戒=P克+E或，E亦=E+E或，则P+E中=(P克+E或)2+(E+E)2= 2P记+2E=PF2+FQ2+QE2+EP2,故D正确. (第6题) (第7题) 7.9解析：如图，取AB的中点T,连接MT,NT,由圆的性质，得 MT⊥AB,NT⊥AB.AB为两个圆的公共弦，从而圆心M,N在弦AB上 的投影为AB的中点，进而AM,A在A店上的投影向量的模能够确定， 所以由向最的投影定义可得.店：·=之=号， 成子号成..9 8子解折：因为平面向最a,be均为事零向量，a6=ac=, 且la+c+2bl=klal,所以kIal2=la+c+2b1la|≥la·a+c·a+2b· a=子a2,即≥子，所以k的最小值为子 9.5解析：因为△AB,C1,△B1B,C2,△B,B,C是三个边长为1的等 边三角形，所以△AB1C2为等腰三角形，∠AB1C2=120°，∠AB,C3= 60°，所以∠C2AB3=30°，AC2=√3， 延长AC2,B3C3交于点D,如图所示，易知LD=90°， C B 所以AC2⊥BC,故AC2·BC=0,所以m:=AC·AP.=AC·(AB+ a)=G瓜+G·瓜=5x3xm刘+0=号，所以m+ 黑白题007 空 10.(1)证明：连接PA,PB,如图， B A花=成.Pi+P克=2P吃，.4D=Pi+P市=2P吃，即2D币=P成刻 (2)解：A店=2D元，4应=E克，.D元=E,则四边形DEBC为平行四边 形，DE∥CB,(DA,C)=∠ADE,DE=CB=3. 由2亦成得，耐1=号成1，即DP=号BC=1,由.成- 1Di·1D1,得cosLADE.DA1·1C1=1Di·1D1, .cos LADE=1 .IPQIin=DP.sin LADE=1x 2222 3 3 1.解：()10P,=10P,=号1AB1=子，〈0,0)=号 10P+0P21=√/(0p+0P)2=√ō+20p·0p2+0= a元a正5(9）-成成- () 所以》：若台，当=2=1时取到最大 } (3)0丽·00=(o元+cP)·(od+c0)=o心+o元.Cp+0元. 网.可号g6g.古。高 同理得网元号名。g。+片是 18 元成}装6g专德 =-6+618 所以g(ij,k)=2 1,3(+jtk)-(可+k+k) 18 令F(k)=-1,3-ik+3(》-变 2 18 当=1时，0s=P2=子3 当=1=2或者=2J=1时，F()=号 当i=2wj=2时，F(k)m=F(1)=2+1859 1.71 综上，g(j,k)的最大值为9 1 压轴挑战 -22解析：要使(e1-e2)·e3的值最小，需e1-e2模最大，且与e3夹 角为m,故当e2,e3同向，且e2,e1反向时，(e1-e2)·e3=le1-e21· Ie3 Icos T=-2,可取得最小值-2； 设e1+e2+e3=-e4,即e1+e2+e3+e4=0,又e1,e2,3均为单位向量， 若e1,e2共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连成一条线段，则此时e1+e2与e3 共线，不符合题意，所以e1,e2不共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连形成一 个菱形，即e1=-e3,e2=-e4, 必修第二册·RJ 因为xe1tye2+ze3=0,x+y+z=2025,所以ye2=-xe1-ze3=(z-x)e1,则 202 y=z-x=0→x=z= 5,所以++=2 2 x+y x+z y+z 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6,3.1平面向量基本定理 白题 基础过关 1.AC解析：若A0,则61=片，从而向量61,6共线这与c, 不共线相矛盾，则入=0，同理可得4=0，故A正确； 由平面向量基本定理可知入，4唯一确定，故B不正确： 平面内的每个向量a可表示成Ae1+ue2的形式，反之也成立，故 C正确： 结合向量加法的平行四边形法则易知，当入e1和e2确定后，其和向 量Ae1+e2便唯一确定，故D不正确. 2.C解析：对于A,设存在唯一的实数入使e1-e2=入(e2-2e1)= Ae,-2e1,则1此方程无解，故e,-62,-2G,能作为平面 11=-2λ」 向量的基底，故A不符合题意； 对于B,设存在唯一的实数A使白6：=A(6,之4）=A0,- 1=入， 2e2,则 1入，此方程无解，故{e-e2,e122}能作为平 -1=-2 面向量的基底，故B不符合题意； 对于C,由6e1-4e2=-2(2e2-3e1),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线 故2e2-3e1,6e1-4e2}不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数入使e1+3e2=(e1+e2)=Ae1+Ae2,则 =入，此方程无解，故e+e2,1+3e2能作为平面向量的基底，故D 3=入， 不符合题意. 3.B解析：由图可知：a=01,b=0i,所以a-b=0-0=B=e1-3e2 b e 4.BC解析：由已知可得BC=AC-AB=b-a,故D错误； 因为P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，由Q币 励-成耐成-(0o)=之0，放A错误： 破-硫-=花+成-+(-a)=a+,放 4 B正确； 成=破-花}+6，故c正确 5.a-2b解析：设c=xa+yb,则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)= (3x-2)e1+-2x)e2,则有32=7解得=1，因此c=4-2h y-2x=-4, ly=-2, 故答案为a-2b. 6.B解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0,b<0.故选B. 7.D解析：如图，因为A=mD心，所以D心= D 1破，所以衣=市+成=市+1破因为A花 入AB+μA⑦（入，u∈R),A店，A⑦不共线，所以 1 入= m'所以u=Am,故选D. u=1, 黑白题008 四方法总结 (1)A,B,C三点共线问题，利用A=入A元构造方程求参数. (2)已知向量ma+nb与ha+pb(a与b不共线)共线，求参数值的 步骤： ①设ma+nb=入(ka+pb); ②整理得(m-Ak)a=(p-n)b,故， ③解方程组得参数值 8日 解析：由题意可得，A应=A成+配=A成+2B成=A成+2A市=A店+ 子(+威)迹号应， 3 所以a=】, 2 1 2b=,所以a-b=-6 黑题■ 应用提优 1,B解析：①A,A不共线可以作为基底；②D∥B武不可以作为基 底：③C,D元不共线可以作为基底；④0i∥ō不可以作为基底，故可 作为表示口ABCD所在平面所有向量的基底的是①③. 2.AC解析：由题意可得衣-店+B武=店+}=+}（配+） 店+成+)成因为四边形BGH是平行四边形，所以衣-庄. 所花-兮成)，所以花-应成=迹+品动， 则A正确，B错误 因为励成耐-市}衣店+品市，所以成耐+成。 子衣子号店子市，则c正确，D错说 3 5 3.D解析：如图，作出O的相反向 B 量OB,再以射线OC,OA为邻边， 以OB为对角线作口ODB'E,由题 意知，∠DOB'=90°，∠E0B'= ∠0B'D=60°，10i1=510B1= √3,10E1=210B1=2, 所以0B=20i+30元，所以0成=-0B=-20i-30元，即λ+μ=-5. 4.D解析：根据网格图中的a,b,c的大小与方向，易得到c=2a+b,由 向量入a+b与c共线，可得入a+b=tc=t(2a+b),解得t=1,入=2t=2. 5.AC解析：对于选项A,因为d-=2,所以AD∥BC,且AD=子BC, 所以6D=8G=}BD,所以励励，故选暖A正确 对于选项B,若G凉=F元，则F为CG的中点，因为E为CD的中点，所 以EF∥DC,与EF,DC相交于点B矛盾，故选项B错误. 对于选项C,因为E为cD的中点，所以破（武+动=子(2+ b-a）之a+,放选项C正确 对于选项D,由题意可设萨=mA花，m∈(0,1)，所以B=A市-A店= mA花-A店=m(A店+B武)-A店=(m-1)A店+mBC=(m-1)a+2mb,又 B7=Aa+b,所以A=m-1,h=2m,所以2A-u=2(m-1)-2m=-2,故 选项D错误 6.D解析：由G是△ABC的重心，得C+G+C忒=0，则C元=-C-C, 由题中等式得-产，d.成，d,,均为非零向 IABI 量，所以Gd由，的表示是唯一的，则-B =-1, lAB s-1,且、AC IABI 参考答案 故1A1=IB武1=AC1,即△ABC为等边三角形. 7.45°解析：因为直线I上有不同的三点A,B,C,所以存在实数入，使 得BA=AB武，所以OA-0成=A(O元-0)，即OA=(1-λ)0成+A0元，所 以1-入=1-cos“,所以sina=cosa因为a是锐角，所以a=450.故 答案为45°. 。(答案不唯一，只要介于0和1即可)解析：如图所示，取点正 为的三等分点（套证B点），可得店：子应。 再取点D为BC的三等分点（靠近B,点），点F为AC的三等分点（靠 近A点)，分别连接DE,DF,则DE∥AF,DF∥AE,所以四边形AEDF 为平行因边形，由3成：2店+花，可得：号+音花，即： 应+子花， 设花=花，可得成=证+花，由平行四边 形法则，当点G在AC上运动时，可得点M在 直线DE上，要使得M在△ABC内部（不包含 边界)，则点G在线段AF上运动（不包括端A2 点)，所以0<宁<兮解得0<1，所以其中-个x的值可以是行 9.(1)证明：假设a,b共线，所以存在实数入，使得a=b,即e1+2e2= A(e1-e2),整理得(1-入)e1=-(+2)e2,则e1,e2共线，这与e1,e2 是不共线的非零向量矛盾，所以假设不成立，即α与b不共线，所以 {a,b}可以作为一个基底 (2)解：设c=e1+3e2=xa+yb=x(e1+2e2)+y(e1-e2)=(x+y)e1+(2x )62,因为e1,e2是不共线的非零向量，所以+y=L,解得 (2x-y=3, 4 1 y3 10.证明：设A花=xA市，B戒=yB成，则A+B武=x(A花+B励)，所以B武=(1- +之成，又因为成=y成=之成+之成，由平面向量基本定 理得 解得=y=子成.+成-0+子（分 2d)d-号本，所以c,cP三点共线，且1a1- 子6内则省8e8号 AD BE CF 3 11.解：(1)因为M是线段BC上一点，且满足BM=2MC,则BM=2M元， 所以成-市=2〔花-动，可得：号号花子+子因为 亦成质以亦（行子）子宁 (2)因为A应=xA店，A市=yA花，其中x,y∈(0,1)，所以由(1)可知 因为E,P,F三点共线，则存在A∈R,使得E=AE,所以A-A正= λ(A市-A应)，可得A产=(1-入)A应+入A京 又因为正，不关线所名1A分期结分1。 所以+y=(+(*安）+3)（仕+号） 黑白题009 4(sg2）=(5+2√=·至)=？，当且仅当 [2x_2y y -即当=时，答号成立，放+2的最小值为} 4x 2y x>0,y>0, (3)因为MB=BG,BM=2MC,所以GM=4MC,即G成=4M元，即AM- 花4（花-，可得成花+花 因为成，所以产衣易萨因为P,GF三点共线，则 5y 存在4∈R,使得P市=uG成，即A市-A市=u(A市-AC),所以A=(1-u) A萨+uAG 为症，不共线，所以1=多4=品则品+号，解得 品 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示+ 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示+ 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 白题基础过关 1.B解析：A店=(5+3，-2-7)=(8，-9). 2.C解析：因为A(2,3),B(4,2),所以AB=(2,-1),所以A=2i-j.故 选C. 3.(-1,3)解析：由∠x04=120可得∠04=30°，因为10i1=2,所 以A(-1,5),故0i=(-1,5). 4.D解析：由向量AB=(-2,1),Ad=(3,4),得B武=A心-A店=(5,3). 5.C解析：由题意可得3a+4b=(6,-9)+(-16,24)=(-10,15). 6.A解析：A(1,2),B(3,2),AB=(2,0).又a=(x+3,x2-3x- 0减20 解得x=-1. 7.c=3a+b解析：设c=xa+b,x,yeR,则(7,3)=(2x+y,-x+6y),即 巴c=a6 (-x+6y=3, 8 解析：A=A店+A元=(3+3入，1+5入)，则P点坐标为(5+3入，4+ 5入)，由于点P在第一、三象限的角平分线上，则5+3入=4+5入，解得 9.AC解折：由点44,6,8(3,2)，得=(7，号) 选项A-7x3-(号）×号=0，所以A选项正确达项R-7× 9 2 (?)x7=0,所以B选项正确选项C-7x(-3)-(号）× ()0,所以c选项正跪法项D-7x9-(号）x7≠0，所以 选项D不正确. 10.C解析：因为A,B,C三点共线，所以A店∥A花.又因为A=(2,6), A心=(3，m+3),所以2(m+3)=6x3,解得m=6, 11.2解析：由题意有b-4a=(2,x)-4(1,1)=(-2,x-4),因为b∥ (b-4a),所以-2x=2(x-4)→x=2. 重难聚焦 12.解：法一：由题意知P,B,0三点共线，又0=(4,4)，故可设0= 必修第二册·RJ t0成=(4,4)，….A=0币-0=(4t,4)-(4,0)=(4t-4,4),A花= 0元-0i=(2,6)-(4,0)=(-2,6). 又：A,C,P三点共线，应/A花，6(4-4)+8=0，解得=子， :.0币=(3,3)，即点P的坐标为(3,3). 法二：设点P(x,y),则0=(x,y).易知0i=(4,0),0元=(2,6)， 03=(4,4). P,B,0三点共线，.0/0,4x-4y=0. P,A,C三点共线，A∥A元 又A=0币-0i=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),A元=0元-0i=(2,6)- (4,0)=(-2,6),∴.6(x-4)+2y=0. 南29y-0 。得=3点P的坐标为(3,3). 黑题应用提优 1.AC解析：对于A,由3×1≠-2×4，得m,n不平行，则向量m,n可以 作基底，A正确： 对于B,由(-2)×(-6)=3×4，得m,n平行，则向量m,n不可以作基 底，B不正确； 对于C,由2×3≠0×0，得m,n不平行，则向量m,n可以作基底， C正确； 对于D,由-1×6=3×(-2)，得m,n平行，则向量m,n不可以作基底， D不正确。 2.C解析：设点P的坐标为(x,y),A(-1,2),B(3,0),.A=(x+1, y-2),Pi=(3-x,y). 由1A币1=21P1且点P在直线AB上，得A=2P或=-2P 5 +1=23或+1=-23)解得 y-2=2(-y) {y-2=-2(-y）, '或=7，点P y=-2. 的坐标为(3，子)或(7，-2)。 1 3.D解析：对于A,,0)=x(1,)+y(-2,2),可得x=7,y=罗 4 xy<0; 对于B,(3,2)=x(1,1)+y(-2,2),可得= 1 2=40: 1 1 对于C,(-1,0)=x(1,1)+y(-2,2),可得x=-2y=4<0: 对于D,(1,i血0-3)=x(1,1)+y(-2,2),可得x=09-1<0,y 2 sim0-1<0,xy>0. 4 4.C解析：由p=(1,-1),9=(2,1),m=(-1,1),n=(1,2),可知 p=-m,q=n-m. 因为向量a在基底p=(1,-1),9=(2,1)下的坐标为(-2,2)，所以 a=-2p+2g=2m+2(n-m)=2n,所以a在基底m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为(0,2). 5.B解析：以B为原点，小正方形的两边所在 直线分别为x轴、y轴，建立坐标系如图. 设小正方形的边长为1，则A(1,2),B(0,0), D(2,3),E(2,2),F(1,1), B品=(2,3)，A2=(1,0),A=(0,-1). B励=xA正+yA市！ (2=x×1+y×0, 3=xx0+(-1)xy, 解得x=2,y=-3,由此可 得x+y=-1. 6.(5,-3)解析：设c的坐标为(x,y),由向量坐标加法运算可得a+ 3b=(-7,5),-2b-2a=(2,-2). 黑白题010 因为向量a+3b,-2b-2a,c的有向线段首尾相接构成三角形，所以 a+3b+(-2b-2a)+c=0,代入得(-7,5)+(2，-2)+(x,y)=(0,0),解 得x=5,y=-3,所以c=(5,-3) 7.解：(1)由题意知点P为倾斜角为0的直线OP与单位圆在第一象限 的交点，所以P(es0,s血0)，0e(0,号）】 因为PA与y轴交于点N,PB与x轴交于点M,PM=mP克，P成=nPi, 且A(-1,0),B(0,-1), 所以yp=m(yp-yg)→sin6=m(sin6+1)→m= sin 6 +sim日：同理，p= cos 6 n(xp-x4)→c0s6=n(cos0+1)→n1+cos0' sin 0 cos 0 所以m-1+ngn-1+cos6 (2)因为P⑦=xPM+yP成=xPM+nPi, cos 0 由于A,0,M三点共线，所以x+n=l,即x+y1+0os日1①： 同理，P=xPM+yP成=xmP+yP成，由于B,O,N三点共线，所以 sin m+y=1,即x+n0y=1②， 将①x(1+cos0)+②x(1+sin0)得(1+cos0+sin0)x+(1+cos0+sin0)y= 1+cos 0+1+sin 0, 从而x+y= 2+cos 0+sin 0 1 1+co0+sm1+co0+sin =1+ 1in 当日=平时，+y取得最小值，瓦， 压轴挑战 B解析：每次跳跃的路径对应的向量为a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5, 0),d1=(0,5),a2=(-3,-4),b2=(-4,-3),c2=(-5,0),42=(0,-5), 因为求跳跃次数的最小值，所以只取a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0), d1=(0,5),设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,deN,可得 00=aa1+bb1+cc1+dd1=(3a+46+5c,4a+3b+5d)=(33,33),则 (3a+46+5c=33,两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=6, l4a+3b+5d=33. 因为a+b,c+dEN,所以{C,或a+6,当at68,时，次数为 Ac+d=9. Ac+d=2 82=10,当g时次数为349=12 综上所述，次数的最小值为10. 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 白题 基础过关 1.A解析：：a+b=(-1,2),.(a+b)·c=(-1,2)·(1,1)=-1× 1+2×1=1. 2.C解析：由题意知，A店=(3,1)-(2,1)=(1,0)，B武=(1,5)- (3,1)=(-2,4),所以4店.B元=1×(-2)+0x×4=-2. 解析：设b=(x,y)（y≠0)，则依题意有 1 {可1解得{（含去）或 x=- 2 3x+y=3, (y=0 故=（仔） √3 y= 2 4.B解析：因为a=(5,-1),b=(3,1),所以a-b=(2,-2),所以 1a-b1=√/4+4=22. 5.B解析：因为向量a=(1,3),b=(m,-1),所以a+b=(1+m,2),a b=(1-m,4),由1a+b1=1a-b1得√(1+m)2+22=√(1-m)2+47 即m2+2m+5=m2-2m+17,解得m=3. 6.(√2，-√2)解析：向量a与b=（1,-1)方向相同，设a=Ab= 参考答案 (入，-A),(A>0),1a1=√2+(-A)7=2,解得X=√2，即a= (5,-√2). 7.D解析：由已知得a+b=(1,1),a-b=(1,-1),所以向量a+b与a-b 的夹角的余弦值为a+b）:(a-b)。0 =0 la+blla-bl 2x2 8.BC解析：A应=Oi-Oi=(1,2),A元=0元-Oi=(k,k+2),因为∠BAC 为锐角，所以A店·A花>0且A店与A花不是共线向量，即 每得e(号2)小u(2+).所以符合条作 的k的值为-1和1. 9.1解析：因为a=(m,0),b=(1,1),所以b-a=(1-m,1),所以 1-m+1 cos(b-a,bb-allb1√们-m41xwg), 巨，化简得(2-m)2= (1-m)2+1,解得m=1. 10.B解析：因为a=(1,0),b=(-1,1),所以a+2b=(1,0)+2(-1,1)= (-1,2),所以(1,2)·(-1,2)=1×(-1)+2×2=3，(2,1)· (-1,2)=2×(-1)+1×2=0,(1,-2)·(-1,2)=1×(-1)+ (-2)×2=-5,(2,-1)·(-1,2)=2×(-1)+(-1)×2=-4.故选B. 11.BD解析：若∠A=90°，则A店.A元=6+k=0,k=-6;若∠B=90°， 则A店.B元=A店.(A元-AB)=2+k-1=0,.k=-1:若∠C=90°，则 A元.C成=A元.(A成-A心)=-k2+k-3=0无解综上，k可能取-6，-1 两个值. 12.子解折：43,2)，8(-1，-)，设A3的中点为M则M(1,号)， 7 .M2=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),M⊥AB,则M· 店=0，所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=4 13.C解析：a=(1,5),b=(2,0),a-b=(-1,5),(a-b)· b三-2a-b在b上的投影向量为ab·b=多=2b们 1b12 4 (-1,0). 14.2解析：向量a=(t,2),b=(3,0),则a·b=3t,1b1=3,因此向量a 在向量6方向上的投影向量亭号 1b=(,0)=(2,0),所以=2 黑题 应用提优 A解析：因为向量b在向量a上的投影向量是c=g2·a= 3 sin &,2 ·(2,0) (2,0)=(sina,0)= (分，0），所以 sin a=2 故a+b=(（2+咖a,气）=(，)，于是1a+b1 √(() 2.D解析：由a⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2,即a=(2,1).由b∥c 得b=Ac,可得A解得y=-2,即b=(1,-2).又a+c=(4,-3), b-c=（-1,2),则cs(a+c,b-c)=(a+c):(b-e la+cllb-cl -4-625 √16+9×√1+45 3.ABD解析：因为点A(3,2),点B(-1,3),则AB=(-4,1),故1AB1= √(-4)2+12=√17，故A正确； 因为0A=(3,2),02=(-1,3),则0·0=3×(-1)+2×3=3>0，若 黑白题011 0=k成，即(3,2)=k(-1,3),可得{3此方程无解，所以O与 3k=2, O不共线，所以∠AOB是锐角，故B正确； 设点C的坐标为(x,y),则A元=(x-3,y-2),C=(-1-x,3-y).因为 1 衣=2应所以3=21)解得 =1 3 y-2=2(3-y), 8 所以c(兮)，故 y=3’ C错误； 因为0i=(3,2),设0品=0i=(3,2),则B=0币-0i= (3入+1,2A-3),由于BD⊥0A,所以B品.0A=0,即3(3A+1)+2(2A- 3列=0解得A=名所以亦=（品，合），放D正确 4.B解析：如图，以0为原点，OB,OA所 在直线分别为x轴、y轴建立平面直角 坐标系，因为“六芒星”是由两个边长为 6正三角形组成的，中心重合于点0且 三组对边分别平行，所以六边形 BCDEFG为边长为2的正六边形，OA= 23,所以0B=2,所以A(0,-2W3), B(2,0),设P(x,y),则A2=(x,y+23), 0成=(2,0)，所以0成.A=2x. 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），所以-3≤x≤3，所以 -6≤2x≤6，所以-6≤0成·A≤6，即0成.A的取值范围是[-6,6]. 5.A解析：设c=（1,0),则由a·c=2,b·c=3,可设a=（2,x),b= （3,）,则a·b=6+y=4,即y=-2,则y=2 x 4 4 圆s(a,bai·1b4好，N9+749z436 4 4 -2)2+9x2+472+36V40+9x2+47 ≤ 1√40+9x2416 x2 4 4 10。—640+2422,即x2-4附 x2 等号成立又ma,6=a产ab>0,放os(a,b)e 4 (o] 6.AC解析：建立平面直角坐标系如图，所以A(0,0),B(2,0), 根据等边三角形的性质，得C(1,√3)，y1 0 0为AB的中点，故0(1,0). 圆弧C以点A为圆心，半径为2，设 ∠PAB=a,点P在BC上，则点P坐标为 (2asa,2如a),ae[g写引设 0 ∠cB0=a因为a=B+所以Be[0,] 因为点Q在AC上，以点B(2,0)为圆心，半径为2，所以成= (2=(5e,2am(5e）所以02-2ma,2ms. 由P=(x0-,0-yp)得1P71=2V3-2(ina+csa- 23-2am(e*好)，又ae[后号引，所以当a=时 1P1m=2√3-2w2=22-2,故A正确.1P1的最大值在&=T或 6 牙处取得，P1=2V2-万<22，故B错误 必修第二册·R刷 p.00=(2cos a-1)(1-2sin a)+4sin acos a=2(sin a+cos a)-1= 2am(a+）1, 当a=子时，(0.0动)m=2-1,放C正确： 当a=名或号时，(0耐.0动)=万>1，故D错误 7.(1,3)(答案不唯一)解析：设c=(x,y),由(a,c)=(b,c),得 。故子震化商可得款=，取1则 a·c c·b y=3,故c=(1,5),答案不唯一 8.1解析：以点B为坐标原点，AB,BC所在直线分别为x轴、y轴建立 如下图所示的平面直角坐标系， 则A(-6,0),D(-3,4),设点E(0,t),其中0≤t≤4，则E=(-6,-t), ED=(-3,4-),则ED.E=18-(4-t)=14,整理可得2-4+4=0， 解得t=2,所以满足条件的点E只有1个. D B 9.35解析：设点M(a,b),则N(a,-b),0i=(a,b),M=(0,-2b), 可知1M1=21b1,由10M1=3,可得a2+b2=9,则AM+0M=(a, b-2Ab),uM+0i=(a,-b-24b) 因为M成+0i与uMi+0垂直，所以(a,b-2Ab)·(a,-b-2b)=0, 化简得a2+(b-2Ab)(-b-2b)=0,将a2=9-b2代入得9+(-2- 2μ+2A+4uM)62=0,由题意知1(aM+Oi)-(uM+0)1= 1(0,2b-2Ab+2b)1=3, 即126-2b+24b1=3,化简得1-Aw=216 3 3 令k=1-A+4,则k=±26，代人得9+(-2-24+2A+4)2=9+ [-2k+4A(A-1+k)]b2=0,整理得462A2+(4b2-462)A+9-2b2=0, 将其看作关于入的一元二次方程，则4=(462-462)2-4×4b2· (9-2b2)=16b4+16k2b4-144b2, 由=±品得品，代人得4=16+16×品·-145 .9 462(462-27)， 当4≥0时方程有解，即4(46：-27)≥0，解得公≥，解得6≤ 该 2 由1-26可得1≥2x2年玩1≥36，博当1a1- 2 1al=子时，取得最小值为3v5 10.(1)证明：由A(0,0),B(1,2),D(4,-2),得AB=(1,2),A⑦= (4,-2).又A店.Ad=1×4+2x(-2)=0,即A店1Ad,则AB1AD. (2)解：A店⊥A,四边形ABCD为矩形，.D元=A应 设C点坐标为(x,),则=(1,2)，Dd=(x-4,y+2)心y+2=2, x-4=1, 解得=5故点C坐标为(5,0)， (y=0, AC=(5,0),B=(3,-4),故A元.B励=15+0=15. 又1d=5,励1=5，设花与动的夹角为0，则as0=花前 IACIIBDI 黑白题012