（讲义）第2章 §7 7.1 实际问题中导数的意义 7.2 实际问题中的最值问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§7　导数的应用 7.1　实际问题中导数的意义 7.2　实际问题中的最值问题 1．体会导数在解决实际问题中的作用．(重点) 2．能利用导数解决简单的实际问题．(难点) 通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养． 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．这些问题的求解思路是什么？ [提示]　这些问题的求解思路是先建立函数模型，再求其最值，而导数是求函数的最值的有力工具． 1．实际问题中导数的意义 自变量x 原函数f (x) 导函数f ′(x) 时间 路程 速度 长度 质量 线密度 时间 功 功率 时间 降雨量 降雨强度 产量 生产成本 边际成本 2．解决实际问题的关键在于把“问题情境”译为“数学语言”，找出问题的主要关系，抽象成数学问题，然后用数学方法求解． 3．用导数解决最优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 用导数求解生活中的优化问题时，应注意哪些问题？ [提示]　(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间． (3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在利用导数解决生活中的优化问题时，既要考虑变量的数学意义，又要关注其实际意义． (　　) (2)若s＝s(t)是物体的运动方程，则s′(t0)是在t＝t0时刻的瞬时速度． (　　) (3)若s＝s(t)是物体的运动方程，则[s′(t)]′是在t时刻的加速度． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　　) 横梁断面 A．　　　B．　　　C．d　　D．d C　[设断面高为h，则h2＝d2－x2．设横梁的强度函数为f (x)，则f (x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0<x<d． 令f ′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝d(舍去负值)． 当0<x<d时，f ′(x)>0，f (x)单调递增； 当d<x<d时，f ′(x)<0，f (x)单调递减． 所以函数f (x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d． 所以x＝d时，f (x)有最大值，故选C．] 3．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省材料． 4　[设水箱底面边长为x dm，则高为 dm，用料总面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0， ∴当x＝8时，S取得最小值，则高为4 dm．] 4．某考生在参加2020年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2． (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义． [解]　(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝． 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题． (2)∵f ′(x)＝， ∴f ′(64)＝，f ′(100)＝． 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题． 类型1　导数在物理学中的应用 【例1】　如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t． (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义． [思路点拨]　弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数． [解]　(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为＝＝5(J/s)． 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J． (2)首先求W′(t)．根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16， 于是，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s． W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功分别为7 J和4 J． 1．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 2．瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)；瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)． [跟进训练] 1．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯． (1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？ (2)求I′(5)并解释它的实际意义． [解]　(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为 ＝＝＝0.005(勒克斯/米)， 它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯． (2)∵I(x)＝＋， ∴I′(x)＝8·(－2·x－3)＋＝－＋． ∴I′(5)＝－＋＝－＝－0.112(勒克斯/米)． 它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米． 类型2　导数在日常生活中的应用 【例2】　某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600． (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． [思路点拨]　(1)平均利润指平均每台所得利润；(2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率； (3)c′(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润． [解]　(1)产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， 平均利润为＝5 000.6(元)． (2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为 ＝＝2 000(元)． (3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000， ∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)． c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)． c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元． 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决． [跟进训练] 2．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2． (1)写出收入函数； (2)写出利润函数； (3)求利润函数的导数，并说明其经济意义． [解]　设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)． (1)收入函数为：R(q)＝490q． (2)利润函数为：L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)＝－2 000＋40q－0.02q2． (3)利润函数的导数为：L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q． 利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量． 类型3　生活中的优化问题 【例3】　某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(图中阴影部分)，形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边)，已知AB＝2 km，BC＝6 km，AE＝BF＝4 km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．求该高科技工业园区的最大面积． [解]　以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，f (2，4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y＝ax2(a>0)，由4＝a×22，得a＝1，则AF所在抛物线的方程为y＝x2， 又∵E(0，4)，C(2，6)， ∴EC所在直线的方程为y＝x＋4． 设P(x，x2)(0<x<2)，则PQ＝x，QE＝4－x2，PR＝4＋x－x2， ∴工业园区的面积S＝(4－x2＋4＋x－x2)·x＝－x3＋x2＋4x(0<x<2)． ∴S′＝－3x2＋x＋4． 令S′＝0，得x＝或x＝－1(舍去)． ∵x＝∈(0，2)且S有唯一的极值点， ∴Smax＝，即该高科技工业园区的最大面积为 km2． 利用导数解决优化问题的一般步骤： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f (x)． (2)求函数f (x)的导数f ′(x)，并解方程f ′(x)＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案． [跟进训练] 3．某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ [解]　(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f (x)，则有f (x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)， 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6． 所以f (x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21]． (2)根据(1)，f ′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)． 令f ′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12． 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化如下表： x 0 (0，2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 9 072 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 0 因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x＝12时，f (x)取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． 1．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的瞬时速度是(　　) A．500 m/h　　 B．1 000 m/h C．400 m/h　　 D．1 200 m/h C　[∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．] 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件　　 B．11万件 C．9万件　　　 D．7万件 C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C．] 3．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． 　[如图，设DE＝x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)． ∴s＝＝·，x∈(0，1)， 设h(x)＝，h′(x)＝． 令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)， ∴h(x)最小值＝h＝8， ∴s最小值＝×8＝．] 4．某一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s＝3t－t2，则s′(0)＝________，它的实际意义是________． 3　初速度是3 m/s　[∵s′＝3－2t，∴s′(0)＝3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3 m/s．] 5．物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2．(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2) (1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义； (2)求当t＝2 s时的瞬时速度，并解释它的意义． [解]　(1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为 ＝＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m． (2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)． 它表示物体在t＝2 s时的速度为19.6 m/s． 1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后依据导数的定义解释它在实际问题中的意义． 2．实际问题中导数的意义 (1)功关于时间的导数是功率． (2)降雨量关于时间的导数是降雨强度． (3)生产成本关于产量的导数是边际成本． (4)路程关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是加速度． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $$