第2章 7.1 实际问题中导数的意义(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

7.1　实际问题中导数的意义 1.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时须在2 s内完成刹车，其位移s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s（t）＝－t3－4t2＋20t＋15，则s'（1）的实际意义为（　　） A.汽车刹车后1 s内的位移 B.汽车刹车后1 s内的平均速度 C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D.汽车刹车后1 s时的位移 2.一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（　　） A.－3　　　B.3　　　C.6　　　D.－6 3.某汽车启动阶段的路程函数为s（t）＝2t3－5t2（t表示时间），则t＝2时，汽车的加速度是（　　） A.14 B.4 C.10 D.6 4.某雪堆在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）＝H（H为常数），其图象如图所示.记此雪堆从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是（　　） A.t1 B.t2 C.t3 D.t4 5.火车开出车站一段时间内，速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位：s）之间的关系是v（t）＝0.4t＋0.6t2，当加速度为2.8 m/s2时，火车开出去（　　） A. s B.2 s C. s D. s 6.一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t＋t2表示，并且物体的动能Ek＝mv2（m为物体质量，v为物体运动速度），则物体开始运动后第7 s时的动能是（　　） A.160 J B.165 J C.170 J D.175 J 7.一物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8，则其在t＝　　　　时的瞬时速度为1. 8.在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度是　　　　米/秒.（最后结果精确到0.01） 9.子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为　　　　. 10.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y＝v（t）＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 11.若函数y＝f（x）的图象上存在两个不同的点P，Q，使得曲线y＝f（x）在这两点处的切线重合，则称函数y＝f（x）为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的是（　　） A.y＝sin x＋cos x B.y＝sin（cos x） C.y＝x＋sin x D.y＝x2＋sin x 12.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度为　　　　 m/s. 13.质点的运动方程是S（t）＝sin t，则质点在t＝时的速度为　　　；质点运动的加速度为　　　　. 14.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s（t）＝5－.求函数s（t）在t＝时的导数，并解释它的实际意义. 15.〔多选〕声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝sin x＋sin 2x，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）在上单调递增 B.f（x）的最大值为 C.f（x）在[0，2π]上有3个零点 D.f（x）在[0，2π]上有3个极值点 16.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时（8＜v≤v0）.若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §7　导数的应用 7.1　实际问题中导数的意义 1.C　由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.故选C. 2.D　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为（－3Δt－6）＝－6.故选D. 3.A　速度v（t）＝s'（t）＝6t2－10t.所以加速度a（t）＝v'（t）＝12t－10，当t＝2时，a（t）＝14，即t＝2时汽车的加速度为14. 4.C　 本题需要明确平均速度与瞬时速度两个概念，从图中看，实际上是切线斜率和割线斜率的关系.如图，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V（t）在某时刻的切线斜率，通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3. 5.B　由题意可知，v'（t）＝0.4＋1.2t，令0.4＋1.2t＝2.8，可得t＝2 s. 6.A　s（t）＝t＋t2，则s'（t）＝v（t）＝1＋t，当t＝7时，v＝8，所以Ek＝mv2＝×5×82＝160（J）. 7.　解析：s'（t）＝14t，由14t＝1，∴t＝. 8.11.93　解析：Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，＝≈11.93（米/秒）. 9.800 m/s　解析：位移公式为s（t）＝at2，其中a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴s'（t）＝at，∴s'（t0）＝800（m/s）. 10.解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v'（2）和v'（6）， 又v'（t）＝－2t＋6， ∴v'（2）＝2 m/s2，v'（6）＝－6 m/s2. 在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2.说明在第2 s附近汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s. 11.D　对于A，令f（x）＝y＝sin x＋cos x＝（ sin x＋cos x）＝sin（ x＋），则f'（x）＝cos（ x＋），当x＝2kπ＋，k∈Z时，f'（x）＝0，f（x）取得最大值，直线y＝是函数f（x）＝sin x＋cos x图象的切线，且过点（ 2kπ＋，），k∈Z，所以函数f（x）＝sin x＋cos x是“切线重合函数”.对于B，令f（x）＝y＝sin（cos x），则f'（x）＝－sin x·cos（cos x），当x＝2kπ，k∈Z时，f'（x）＝0，cos x＝1，－sin 1≤f（x）≤sin 1，函数的最大值是sin 1，直线y＝sin 1是函数f（x）＝sin（cos x）图象的切线，且过点（2kπ，sin 1），k∈Z，所以函数f（x）＝sin（cos x）是“切线重合函数”.对于C，令f（x）＝y＝x＋sin x，则f'（x）＝1＋cos x，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f'（x）＝1，f（ 2kπ＋）＝2kπ＋＋1，k∈Z，所以过f（x）＝x＋sin x图象上的点（ 2kπ＋，2kπ＋＋1），k∈Z的切线方程是y－（ 2kπ＋＋1）＝x－（ 2kπ＋），即y＝x＋1，所以函数f（x）＝x＋sin x是“切线重合函数”.对于D，令f（x）＝y＝x2＋sin x，则f'（x）＝2x＋cos x，令g（x）＝f'（x）＝2x＋cos x，则g'（x）＝2－sin x＞0，所以g（x）＝f'（x）是R上的增函数，因此函数图象上不存在两点满足题意，故选D. 12.4.9　解析：∵h'（t）＝－9.8t＋14.7，∴h'（1）＝4.9.故烟花在t＝1 s时的瞬时速度为4.9 m/s. 13.　 －sin t　解析：v（t）＝S'（t）＝cos t，∴v＝cos ＝.即质点在t＝时的速度为.∵v（t）＝cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cos t）'＝－sin t. 14.解：由复合函数求导法则，得s'（t）＝－（25－9t2·（－18t）＝， 将t＝代入s'（t）中，得s'（ ）＝， 它表示当t＝ s时，梯子上端下滑的速度为 m/s. 15.BC　取一个周期2π，不妨设x∈[0，2π]，f'（x）＝cos x＋cos 2x＝2cos2x＋cos x－1＝（2cos x－1）（cos x＋1），令f'（x）＝0，解得x＝或x＝π或x＝，当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈时， f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以A错误；f＝，f（2π）＝0，所以f（x）的最大值为，所以B正确；f（0）＝0，f（π）＝0，f（2π）＝0，结合f（x）的单调性可知f（x）在[0，2π]上有3个零点，所以C正确；f（x）在x＝和x＝处取得极值，所以D错误.故选B、C. 16.解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k（k＞0），则y1＝kv2. ∵当v＝12时，y1＝720， ∴720＝k·122， 得k＝5，则y1＝5v2. 设全程燃料费为y元，由题意， 得y＝f（v）＝y1·＝， ∴f'（v）＝＝. 令f'（v）＝0， 解得v＝0（舍去）或v＝16. 若v0≥16，当v∈（8，16）时，f'（v）＜0，f（v）在（8，16）上单调递减；当v∈（16，v0]时，f'（v）＞0，f（v）在（16，v0]上单调递增.故当v＝16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省. 若v0＜16，则v∈（8，v0]，且f'（v）＜0，f（v）在（8，v0]上单调递减.故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省. 综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省； 若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $