（讲义）第2章 §6 6.3 函数的最值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

6.3　函数的最值 1．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值．(重点) 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．(重点、难点) 1．结合实例培养学生的直观想象素养． 2．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养． 问题1：如何确定你班哪位同学最高？ [提示]　方法很多，可首先确定每小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学． 问题2：上述方法，对你求函数最值有什么启发？ [提示]　先求极值，再由极值求最值． 1．最值点 (1)最大值点：函数y＝f (x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f (x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f (x0)． (2)最小值点：函数y＝f (x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f (x)在这个区间内所有点处的函数值都不小于f (x0)． (3)函数的最值或在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得． 2．最值 函数的最大值与最小值统称为函数的最值． 函数的极值与最值有何区别？ [提示]　极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一般地，连续函数f (x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值． (　　) (2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个． (　　) (3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值． (　　) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．函数f (x)＝x＋在区间[－3，－1]上的最大值为(　　) A．－2　　B．－3　　C．－　　D．－ A　[f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0得，x＝－， 当－3≤x≤－时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增； 当－≤x≤－1时，f ′(x)≤0，函数f (x)单调递减， 所以，函数f (x)的最大值是f (－)＝－2．] 3．函数f (x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1，1]上的最大值为________． －6　[因为f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0， ∴函数f (x)在区间[－1，1]上单调递增， ∴当x＝1时，函数f (x)取得最大值f (1)＝－6．] 4．求函数f (x)＝sin 2x－x在上的最大值和最小值． [解]　f ′(x)＝2cos 2x－1． 令f ′(x)＝0，x∈， 解得x＝－或x＝． 而f＝－，f＝－，f＝，f＝－， 所以函数f (x)的最大值为，最小值为－． 类型1　求函数的最值 【例1】　(1)求函数f (x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值； (2)求函数f (x)＝x＋sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值． [思路点拨]　先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [解]　(1)因为f (x)＝x3－x2－2x＋5， 所以f ′(x)＝3x2－x－2． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1． 因为f ＝，f (1)＝，f (－2)＝－1，f (2)＝7， 所以函数f (x)在[－2，2]上的最大值是7，最小值是－1． (2)因为f (x)＝x＋sin x，所以f ′(x)＝＋cos x， 令f ′(x)＝0，解得x1＝，x2＝． 因为f (0)＝0，f ＝＋，f ＝－，f (2π)＝π， 所以函数f (x)在[0，2π]上的最大值是π，最小值是0． 求函数最值的4个步骤 提醒：求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较． [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝＋ln x，求f (x)在上的最大值和最小值． [解]　易知f (x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x)＝＋ln x＝－1＋ln x， ∴f ′(x)＝－＋＝． 令f ′(x)＝0，得x＝1． 当x变化时，f ′(x)与f (x)在上的变化情况如下表： x 1 (1，2) 2 f ′(x) － 0 ＋ f (x) 1－ln 2 ↘ 0 ↗ －＋ln 2 ∴在上，当x＝1时，f (x)取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0． 又f ＝1－ln 2，f (2)＝－＋ln 2， ∴f －f (2)＝－2ln 2＝×(3－4ln 2)＝ln >0，∴f >f (2)，∴f (x)在上的最大值为f ＝1－ln 2，最小值为f (1)＝0． 类型2　已知函数的最值求参数的值 【例2】　已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f (x)在[－1，2]上取得最大值12，最小值－20？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． [思路点拨]　利用导数求出f