（讲义）第2章 §6 6.2 函数的极值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

6.2　函数的极值 1．通过实例了解极值的概念．(重点) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．(重点) 3．会利用导数求函数的极大值、极小值．(难点) 1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． 2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养． 苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的峰峦起伏，绵延逶迤，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 已知可导函数y＝f (x)，y＝g(x)的图象． 问题1：对于y＝f (x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？在x＝x0处的导数值是多少？ [提示]　y＝f (x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零；f ′(x0)＝0． 问题2：观察y＝f (x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f (x0)有何特点？ [提示]　f (x0)在(a，b)内最大． 问题3：函数值f (x0)在定义域内还是最大吗？ [提示]　不一定． 问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ [提示]　与y＝f (x)在(a，b)上结论相反． 1．函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f (x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f (x)的极大值点，其函数值f (x0)为函数的极大值． (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f (x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f (x)的极小值点，其函数值f (x0)为函数的极小值． (3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 2．函数的单调性与极值 (1)函数的极大值与导数的关系 x (a，x0) 极大值点x0 (x0，b) f ′(x) ＋ 0 － y＝f (x) ↗ f (x0)是极大值 ↘ 图示 (2)函数的极小值与导数的关系 x (a，x0) 极小值点x0 (x0，b) f ′(x) － 0 ＋ y＝f (x) ↘ f (x0)是极小值 ↗ 图示 函数的极大值一定比极小值大吗？ [提示]　不一定． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)x＝0是函数y＝x3的极值点． (　　) (2)可导函数一定存在极值． (　　) (3)若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f (x)的极值点． (　　) (4)若x＝x0是可导函数y＝f (x)的极值点，则f ′(x0)＝0． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设函数f (x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f (x)的极大值点 B．x＝1为f (x)的极小值点 C．x＝－1为f (x)的极大值点 D．x＝－1为f (x)的极小值点 D　[求导得f ′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f ′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f (x)的极小值点．] 3．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为_____． 8　[y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点， 故f (1)＝2＋m＝10，m＝8．] 4．已知x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，求f (x)的极小值． [解]　f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1， 则f ′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0，解得a＝－1， 则f (x)＝(x2－x－1)·ex－1，f ′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1， 又ex－1>0恒成立，令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0， 所以x＝1是函数f (x)的极小值点， 则f (x)的极小值为f (1)＝－1． 类型1　求函数的极值 【例1】　求下列函数的极值： (1)f (x)＝x3－3x2－9x＋2； (2)f (x)＝． [思路点拨]　利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值． [解]　(1)函数f (x)＝x3－3x2－9x＋2的定义域为R，且f ′(x)＝3x2－6x－9． 解方程f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0