（讲义）第2章 §6 6.1 函数的单调性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§6　用导数研究函数的性质 6.1　函数的单调性 1．了解函数的单调性与导数的关系．(重点) 2．能利用导数研究函数的单调性．(重点、难点) 3．会求函数的单调区间．(难点) 1．借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． 2．通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养数学运算素养． 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝，(5)y5＝log2x，(6)y6＝logx． 问题1：求上面六个函数的导数． [提示]　(1)y1′＝2，(2)y2′＝－2，(3)y3′＝2xln 2，(4)y4′＝ln ＝－2－xln 2，(5)y5′＝，(6)y6′＝＝－． 问题2：试判断所求导数的符号． [提示]　(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负． 问题3：试判断上面六个函数的单调性． [提示]　(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． [提示]　当f ′(x)>0时，f (x)单调递增，当f ′(x)<0时，f (x)单调递减． 问题5：再举一些函数，验证你的结论． [提示]　略． 函数在区间(a，b)上的单调性与其导数的符号有如下关系 导数的正负 函数在(a，b)上的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 f ′(x)＝0 常数函数 1．在某一区间上f ′(x)>0(或f ′(x)<0)是函数y＝f (x)在该区间上单调递增(或单调递减)的什么条件？ [提示]　充分不必要条件． 2．若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f ′(x)＝0，而其余点恒有f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，该函数在这个区间上是否仍是单调递增(或单调递减)的？ [提示]　是． 1．思考辨析(正确的画”√“，错误的画”ד) (1)若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则一定有f ′(x)>0． (　　) (2)若∀x∈(a，b)，f ′(x)>0，则函数f (x)在(a，b)内单调递增． (　　) (3)若∃x∈(a，b)，f ′(x)＝0，则函数f (x)在(a，b)内不单调． (　　) (4)已知f (x)是定义在R上的可导函数，若∀x≥a，f (x)≥f (a)，则f ′(a)≥0．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝sin x　　 B．y＝x·ex C．y＝x3－x 　 D．y＝ln x－x B　[(sin x)′＝cos x，(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，(x3－x)′＝3x2－1，(ln x－x)′＝－1， 当x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0．] 3．函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图，则函数f (x)的递增区间为________． [－1，0]和[2，＋∞)　[当－1≤x≤0或x≥2时f ′(x)≥0，可得递增区间为[－1，0]和[2，＋∞)．] 4．证明函数f (x)＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． [证明]　f ′(x)＝1－＝，当x∈(0，1]时， f ′(x)≤0(当且仅当x＝1时等号成立)， ∴f (x)＝x＋在(0，1]上单调递减． 当x∈[1，＋∞)时，f ′(x)≥0(当且仅当x＝1时等号成立)， ∴f (x)＝x＋在[1，＋∞)上单调递增． 类型1　求函数的单调区间 【例1】　求下列函数的单调区间： (1)f (x)＝x2－ln x； (2)f (x)＝ax3－3x2＋1(a≠0)． [解]　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝2x－＝． 因为x>0，所以x＋1>0，由f ′(x)>0，解得x>， 所以函数f (x)的单调递增区间为； 由f ′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)， 所以函数f (x)的单调递减区间为． (2)由题设知a≠0．f ′(x)＝3ax2－6x＝3ax， 令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝． 当a>0时， 若x∈(－∞，0)，则f ′(x)>0， ∴f (x)在区间(－∞，0)上为增函数． 若x∈，则f ′(x)<0， ∴f (x)在区间上为减函数． 若x∈，则f ′(x)>0，∴f (x)在区间上是增函数． 当a<0时， 若x∈，则f ′(x)<0，∴f (x)在上是减函数． 若x∈，则f ′(x)>0， ∴f (x)在区间上为增函数． 若x∈(0，＋∞)，则f ′(x)<0，∴f (x)在区间(0，＋∞)上为减函数． 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的