（讲义）第2章 §5 简单复合函数的求导法则-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§5　简单复合函数的求导法则 1．了解复合函数的求导法则．(重点) 2．能求简单复合函数的导数．(难点) 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养． 海上一艘油轮发生了泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)关于油膜半径r(单位：m)的函数S＝f (r)＝πr2，油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增大而增大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1． 问题1：求S关于t的函数． [提示]　S＝f (r)＝f[φ(t)]＝π[φ(t)]2＝π(2t＋1)2． 问题2：如何求S关于t的函数的导数？ [提示]　法一：∵S＝4πt2＋4πt＋π，∴S′＝8πt＋4π． 法二：由 ＝ ·＝ · 可得， S′＝[f (φ(t))]′＝f ′(r)·φ′(t)＝2πr×2＝4πr＝8πt＋4π． 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f (φ(x))的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)． 1．如何求复合函数y＝f (φ(x))的定义域？ [提示]　由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f (u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f (φ(x))的定义域． 2．任何两个函数都能复合吗？ [提示]　只有外函数y＝f (u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合． 1．思考辨析(正确的画”√“，错误的画”ד) (1)复合函数y＝f (φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的定义域． (　　) (2)复合函数y＝f (φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的值域． (　　) (3)复合函数y＝f (φ(x))的定义域就是外函数y＝f (u)的定义域． (　　) (4)(ln|x|)′＝．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝的导数是(　　) A．　　　 B． C．－ 　 D．－ C　[∵y＝＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－．] 3．已知f (x)＝cos 2x，则f ′等于________． －2　[由f ′(x)＝－2sin 2x得，f ′＝－2．] 4．已知函数f (x)＝(2x＋1)5，求f ′(0)的值． [解]　f ′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4， ∴f ′(0)＝10． 类型1　复合函数的概念 【例1】　函数y＝可以看成哪两个函数的复合？ [解]　函数y＝可以看成函数y＝与函数u＝(2x＋1)2的复合，也可以看成函数y＝与函数u＝2x＋1的复合． 1．不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合． 2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择． [跟进训练] 1．函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？ [解]　函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合． 类型2　简单的复合函数求导 【例2】　求下列函数的导数： (1)y＝sin 3x； (2)y＝； (3)y＝lg(2x2＋3x＋1)； (4)y＝sin2． [思路点拨]　先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解． [解]　(1)设y＝sin u，u＝3x， 则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(3x)′＝cos u·3＝3cos 3x； (2)设y＝u，u＝1－2x2， 则y′x＝y′u·u′x＝′·(1－2x2)′ ＝－u·(－4x) ＝－(1－2x2)(－4x)＝2x(1－2x2)； (3)设y＝lg u，u＝2x2＋3x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝(lg u)′·(2x2＋3x＋1)′＝·(4x＋3)＝； (4)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋． 则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2＝2sin v·cos v·2＝2sin 2v＝2sin． 1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝ln(6x＋4)；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝；(4)y＝sin． [解]　(1)y′＝·(6x＋4)′＝； (2)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1； (3)y′＝·(2x－1)′＝