（讲义）第2章 §3 导数的计算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§3　导数的计算 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点) 通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学运算素养． 对于函数y＝1－x2． 问题1：如何求f′(1)? [提示]　f′(1)＝ ＝ (－2－Δx)＝－2． 问题2：如何求f′(x)的值． [提示]　f′(x)＝ ＝ (－2x－Δx)＝－2x． 问题3：能由f′(x)求f′(1)吗？ [提示]　能，f′(1)＝－2×1＝－2． 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c为常数) y′＝0 y＝xα(α∈Q*) y′＝αxα－1 y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝axln a y＝ex y′＝ex y＝loga x(a＞0，a≠1) y′＝ y＝ln x y′＝ 如何理解常数函数的导数为0的几何意义？ [提示]　设f (x)＝c，则f′(x)＝0的几何意义为函数f (x)＝c的图象上每一点处的切线的斜率都为0． 2．导函数 一般地，如果一个函数y＝f (x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f (x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′． 1．思考辨析(正确的画”√“，错误的画”ד) (1)＝cos． (　　) (2)(cos x)′＝sin x． (　　) (3)＝－． (　　) (4)(x2021)′＝2021x2020． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列各式中，正确的是(　　) A．＝cos x B．＝sin x C．＝sin x D．＝cos x A　[先利用诱导公式化简，再根据求导公式求导．] 3．曲线y＝cos x在点P处的切线方程为________． y＝－x＋＋　[∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴切线斜率k＝－sin＝－． ∴切线方程为y－＝－，即切线方程为y＝－x＋＋．] 4．已知曲线f (x)＝ex在P(x0，f (x0))处的切线方程为y＝kx，求k的值． [解]　∵f′(x)＝ex，∴k＝e．① 又∵点P既在曲线上又在切线上，∴y0＝e，y0＝kx0．② 由①②得x0＝1，y0＝e，∴k＝e． 类型1　利用导数的定义求导函数 【例1】　求函数f (x)＝x2＋5x的导函数并求它在x＝3处的导数． [思路点拨]　先用导函数的定义求f′(x)，再将x＝3代入即可得f′(3)． [解]　f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋5)＝2x＋5．∴f′(3)＝2×3＋5＝11． 利用定义求函数y＝f (x)的导函数的一般步骤 (1)确定函数y＝f (x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy＝f (x＋Δx)－f (x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数 f′(x)＝ ． [跟进训练] 1．利用导数的定义求函数f (x)＝x3的导函数并求它在x＝－1处的导数． [解]　f′(x)＝ ＝ ＝ (3x2＋3Δx·x＋Δx2)＝3x2， ∴f′(－1)＝3×(－1)2＝3． 类型2　利用求导公式求函数的导数 【例2】　求下列函数的导数： (1)y＝－3；(2)y＝x4；(3)y＝；(4)y＝2x；(5)y＝log5x；(6)sin． [思路点拨]　解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解]　(1)y′＝(－3)′＝0； (2)y′＝(x4)′＝4x3； (3)y′＝()′＝(x)′＝x＝x＝； (4)y′＝(2x)′＝2xln 2； (5)y′＝(log5x)′＝； (6)因为y＝sin＝cos x， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x． 用导数公式求函数导数的方法 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； (2)对于不能直接利用导数公式的类型，可将其转化为基本初等函数的形式，如y＝可以写成y＝x，y＝sin可以写成y＝cos x等；以免在求导过程中出现指数或系数错误． [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝lg x；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝logx． [解]　(1)y′＝(lg x)′＝． (2)y′＝＝ln ＝－ln 2． (3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝． (4)y′＝′＝＝－． 类型3　导数几何意义的应用 【例3】　求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数． [思路点拨]　要证明三角形面积为定值，应先求出直线在两坐标轴上的截距，因此应先写出直线的方程，要写直线方程，首先求出直线的斜率，于是可设出切点的坐