（讲义）第2章 §1 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念．(重点) 2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法．(难点) 1．通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求函数平均变化率、瞬时变化率，培养数学运算素养． 下表是某病人吃完退烧药后，他的体温变化情况： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？ [提示]　不相同． 问题2：哪段时间体温变化较快？ [提示]　从20 min到30 min变化快． 问题3：如何刻画体温变化的快慢？ [提示]　用单位时间内体温变化的大小，即体温的平均变化率． 1．平均变化率 函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义：＝． (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 2．瞬时变化率 函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率 (1)定义：当Δx趋于0时，平均变化率＝趋于某个值，这个值就是f (x)在点x0的瞬时变化率． (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 函数f (x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x)在(x1，x2)上一定为常数？ [提示]　函数f (x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x1)＝f (x2)；平均变化率等于0，不能说f (x)在区间(x1，x2)上一定为常数，例如f (x)＝x2在区间(－1，1)上． 1．思考辨析(正确的画”√“，错误的画”ד) (1)函数f (x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0． (　　) (2)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率与Δx值的正、负无关． (　　) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值的变化快慢的量． (　　) (4)平均变化率越大，函数值变化得越快． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，函数y＝f (x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－2 B　[＝＝＝－1．] 3．函数f (x)＝在x＝1处的瞬时变化率为________． [答案]　－1 4．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，求t0的值． [解]　因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2， 当Δt趋于0时，趋于14t0－13，所以14t0－13＝1， 所以t0＝1． 类型1　求函数的平均变化率 【例1】　求函数y＝f (x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]　函数y＝f (x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝＝6x0＋3Δx． 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3． 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1． (2)求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)． (3)求平均变化率＝． [跟进训练] 1．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________． 　[因为Δy＝π×23－π×13＝，所以＝＝．] 类型2　求瞬时变化率 【例2】　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)． (1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度． [解]　(1)质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝(－6－3Δt)(m/s)． (2)由(1)知＝－6－3Δt． 当Δt趋近于0时，趋近于－6， 所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s． 求运动物体瞬时速度的步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度． [跟进训练] 2．已知f (x＋1)－f (1)＝2x2＋x，则y＝f (x)在x＝1处的瞬时变化率为________． 1　[∵＝＝2x＋1， ∴当x趋近于0时，2x＋1趋近于1，∴y＝f (x)在x＝1处的瞬时变化率为1．] 3