（讲义）第1章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

类型1　数列通项公式的求法 角度1　利用an与Sn的关系求通项公式 【例1】　设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上，求数列{an}的通项公式． [解]　依题意得，＝3n－2， 即Sn＝3n2－2n． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5； 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5． 所以an＝6n－5(n∈N＋)． 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系是an＝该公式有两个作用：①已知前n项和Sn，求通项an； ②将项与和的关系统一成项与项的关系或和与和的关系． 由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能则用分段函数表示． 角度2　累加(乘)法求通项公式 【例2】　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋ln； (2)a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an． [解]　(1)∵an＋1＝an＋ln， ∴an－an－1＝ln＝ln(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln＋ln＋…＋ln＋ln 2＋2 ＝2＋ln＝2＋ln n(n≥2)， 又a1＝2适合上式， 故an＝2＋ln n(n∈N＋)． (2)∵a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an， ∴＝，∴＝(n≥2)， ∴an＝··…···a1＝··…···1＝n(n≥2)， 又a1＝1适合上式， 故an＝n． 1．已知a1，且an－an－1＝f (n)，可用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1求an． 2．已知a1(a1≠0)，且＝f (n)，可用an＝··…···a1求an． 角度3　迭代法求通项公式 【例3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＝2an－1－1(n≥2)，求通项公式an． [解]　an＝2an－1－1＝2(2an－2－1)－1＝22an－2－2－1 ＝22(2an－3－1)－2－1＝23an－3－22－2－1 … ＝2n－1a1－2n－2－2n－3－…－22－2－1 ＝2n－(2n－2＋2n－3＋…＋22＋2＋1) ＝2n－ ＝2n－2n－1＋1 ＝2n－1＋1． 对于形如an＝f (an－1)型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使an与初始值a1(或a2)建立联系的方法就是迭代法． 角度4　构造法求通项公式 【例4】　已知数列{an}满足，a1＝2，且an＝3an－1－(2n－3)(n≥2)，求an． [解]　设an－(xn＋y)＝3{an－1－[x(n－1)＋y]}，对应已知条件an＝3an－1－(2n－3)，解得x＝1，y＝0． ∴an－n＝3[an－1－(n－1)]， ∴数列{an－n}为首项为a1－1＝1，公比为3的等比数列． ∴an－n＝1×3n－1，得an＝n＋3n－1． 1．已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列． 2．形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，将其变形为＝·＋．①若A＝C，则是等差数列，且公差为．②若A≠C，则采用待定系数法构造新数列求解． 类型2　数列求和的方法 角度1　公式法求和 【例5】　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋)． (1)求证：{an}是等差数列． (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和． [解]　(1)证明：an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2)． ∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1， ∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋)． 又an＋1－an＝－2为常数， ∴数列{an}是首项为a1＝99，公差d＝－2的等差数列． (2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)． ①当1≤n≤50时，an＞0，此时bn＝|an|＝an， ∴{bn}的前n项和S′n＝100n－n2． ②当n≥51时，an＜0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an) ＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和为 Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2． 由①②得数列{bn}的前n项和为 S′n＝ 如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q