（讲义）第1章 §4 数列在日常经济生活中的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§4　数列在日常经济生活中的应用 1．掌握单利、复利的概念．(重点) 2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用．(重点、难点) 1．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助数列的应用，培养数学建模素养． 伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，在国外流行的分期付款消费被引入国内，并迅速得到国内消费者的认可．采用分期付款方式消费的通常是当前支付能力较差，但有消费需求的年轻人，其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等． 分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供．银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤销的债务连带责任．使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”． 你知道分期付款时每期还款的金额是依据什么算出来的吗？ [提示]　依据等差数列和等比数列为数学模型算出来的． 1．单利与复利 (1)单利计算公式 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝a(1＋nr)． (2)复利计算公式 复利的计算是不仅在原有本金上计算利息，而且对本金所产生的利息也计算利息，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝a(1＋r)n． 2．三种常见模型 (1)零存整取模型； (2)定期自动转存模型； (3)分期付款模型． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)零存整取储蓄的数学模型是等差模型． (　　) (2)定期自动转存储蓄的数学模型等比模型． (　　) (3)在分期付款中，各期所付款额及各期所付款额生成的利息之和等于商品的售价． (　　) (4)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟　 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 B　[由题意可得20＋21＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，解得n≥7，故选B．] 3．古代数学家杨辉在沈括的瞭积术的基础上想到，若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a各球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层(即下底)由b×b各球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下： S＝， 根据以上材料，我们可以得到12＋22＋…＋n2＝________． 　[令a＝1，b＝n得，S＝＝， 即12＋22＋…＋n2＝．] 4．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值． [解]　设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为 l＝2[(i－1)＋(i－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i)＋(20－i)]×10 ＝(i2－21i＋210)×20＝×20， 即i＝10或11时，lmin＝2 000(米)． 类型1　等差数列模型 【例1】　李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰．问到期时，李先生一次可支取本息多少元？ [思路点拨]　解答本题可利用等差数列的前n项和公式来计算． [解]　100×36＋100×2.7‰×＝3 779.82(元)． 1．本题实际上是一个“零存整取”问题，解答的关键是理解所求的本息为等差数列的求和问题． 2．等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取”，即利息按单利计算． [母题探究] 已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰．问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税) [解]　100×36＋100×1.725‰××(1－20%)＝3 691.908(元)． 3 779.82－3 691.908＝87.912(元)． 答：“教育储蓄”一次支取本息3 779.82元，比“零存整取”多 87.912元． 类型2　等比数列模型 【例2】　从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2020年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加． (1)设n年内(2020年为第一年)总投入为an万元