（讲义）第1章 §3 3.2 等比数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

3.2　等比数列的前n项和 1．理解等比数列前n项和的推导方法．(难点) 2．掌握等比数列的前n项和公式．(重点) 3．能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题．(重点、难点) 1．通过等比数列的前n项和公式的应用，培养数学运算素养． 2．借助利用等比数列的前n项和公式解决实际问题，培养数学建模素养． 小明的爸爸打算一年中每月奖励小明100元钱放在储钱罐里以备将来之用，聪明的小明说：“不用这么多，你第一个月给我1元钱，以后每个月给我的钱数是上个月给我钱数的2倍就行了．” 爸爸想：第一个月1元，第二个月才2元，我有1 200元足够了．于是高兴地回答：“可以，没有问题．” 小明说：“你可要说话算数呦，我们签一个协议吧！” 爸爸说：“爸爸是个说到做到的人，没问题．” 然后，两人就爽快地签了协议． 你知道小明爸爸的1 200元够用吗？ [提示]　略． 等比数列的前n项和公式 已知量 选用公式 首项、公比和项数(a1，q和n) Sn＝ 首项、末项和公比(a1，an和n) Sn＝ 1．当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？ [提示]　Sn＝＝－qn＋，Sn是关于n的指数型函数，其中指数式的系数与常数互为相反数． 2．若公比不为－1的等比数列{an}的前k项和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？若成等比数列，则其公比是什么？ [提示]　Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，其公比是qk． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若{an}是等比数列，则S2n＝(1＋qn)Sn． (　　) (2)若{an}是等比数列，则Sn＝． (　　) (3)若Sn＝A－Aqn，则当A≠0且q≠0时，{an}是等比数列． (　　) (4)数列{(－1)n}的前n项和为． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝(　　) A．3　　　　 B．－4 C．3或－4 D．－3或4 C　[∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4．] 3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________． －　[因为＝，所以＝，所以q5＝－，q＝－，则an＝－．] 4．求数列的前n项和Sn． [解]Sn＝＋＋＋…＋， ① Sn＝＋＋…＋＋， ② ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－， ∴Sn＝2－－． 类型1　等比数列的前n项和公式的应用 【例1】　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求{an}前8项的和S8． [思路点拨]　观察已知式的结构特征，联想等比数列的性质，然后求出a1和q． [解]　依题设条件得，a＝a3·a5＝64，所以a4＝±8， 所以a6＝32或a6＝16． 因为{an}是实数等比数列，所以q2＝>0， 故a4＝－8舍去，得a4＝8，a6＝32． 从而a5＝±＝±16， 公比q的值为q＝＝±2， 当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝＝255； 当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝＝85． 1．在应用公式Sn＝或Sn＝求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1且q≠0，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1． 2．在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量，其思想方法是方程思想． [跟进训练] 1．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q． [解]　∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66， ∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根， 解方程得x1＝2，x2＝64， ∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1． 若a1＝2，an＝64，由＝126得2－64q＝126－126q， ∴q＝2，由an＝a1qn－1得2n－1＝32，∴n＝6． 若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6． 综上所述，n的值为6，公比q＝2或． 类型2　错位相减法求和 【例2】　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N＋． (1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn． [思路点拨]　(1)类比由Sn求an的方法求解本题； (2)数列{bn}用错位相减法求和． [解]　(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝(n≥2)，② ①－②得3n－1an＝－＝(n≥2)． 即an＝(n≥2)． 经验证，n＝1时也满足上式，an＝(n∈