（讲义）第1章 §2 2.2 等差数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

2.2　等差数列的前n项和 1．理解等差数列前n项和的推导方法．(难点) 2．掌握等差数列的前n项和公式．(重点) 3．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题．(重点、难点) 1．通过等差数列的前n项和公式的数学应用，培养数学运算素养． 2．借助利用等差数列的前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养． 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”．在高斯上小学时，高斯的算术教师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？ 据说，当其他同学都忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：＋＋…＋＝101×50＝5 050． 你能用高斯的计算方法求出1＋2＋3＋…＋n的值吗？ [提示]　略． 1．等差数列的前n项和公式 已知量 选用公式 首项、公差和项数 (a1，d和n) Sn＝na1＋ 首项、末项和项数 (a1，an和n) Sn＝ 2．数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系 an＝ 1．等差数列的前n项和Sn一定是关于n的二次函数吗？ [提示]　不一定，当公差d≠0时， Sn＝n2＋n是关于n的二次函数；当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数． 2．在等差数列{an}中，如已知a10，则一定可求出该数列前多少项的和？ [提示]　因为S19＝＝＝19a10，所以一定可求出数列{an}前19项的和． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝(n≥2，且n∈N＋)． (　　) (2)等差数列的前n项和Sn是关于n的常数项为0的二次函数． (　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4－S2是S2，S6－S4的等差中项． (　　) (4)若Sn是数列{an}的前n项和，且ai＝1－a20－i，i＝1，2，…，19，则S19＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A．31　　　B．32　　　C．33　　　D．34 B　[由已知可得 解得 ∴S8＝8a1＋d＝32．] 3．已知在等差数列{an}中，a1＝5，a10＝95，则其前10项和S10＝_______． 500　[S10＝＝500．] 4．已知等差数列{an}，a10＝10，其前10项和S10＝70，求公差d． [解]　因为S10＝×10×(a1＋a10)＝×10×(a1＋10)＝70，所以a1＝4，因为a10＝a1＋9d＝10，所以d＝． 类型1　等差数列的前n项和公式的应用 【例1】　在等差数列{an}中， (1)已知a2＝1，S9＝－45，求an； (2)已知a3＋a8＝－12，求S10． [思路点拨]　(1)利用等差数列的通项公式与前n项和公式构建关于首项a1和公差d的方程组求解； (2)利用等差数列的性质与前n项和公式求解． [解]　(1)由S9＝－45，得9a1＋＝－45，即a1＋4d＝－5，① 由a2＝1，得a1＋d＝1，② 由①②解得，a1＝3，d＝－2，∴an＝3－2＝－2n＋5． (2)S10＝＝＝＝－60． [母题探究] 在第(1)问的条件下，求Sn的最大值． [解]　法一：∵Sn＝3n＋＝－n2＋4n＝－＋4，∴当n＝2时，Sn取最大值4． 法二：∵d＝－2<0，∴{an}是递减数列， 由an>0，得n<，又a3＝－1<0， ∴Sn的最大值是S2＝4． 1．用公式Sn＝na1＋求前n项和，则需求a1和d，可考虑用基本量法求解；用Sn＝求前n项和，则可将a1＋an看作一个整体，可考虑用性质法求解．前者是通法，后者需要观察项与项的关系，有一定的技巧． 2．求等差数列前n项和最值的方法： (1)利用Sn＝An2＋Bn，通过二次函数y＝Ax2＋Bx的性质求解； (2)求出正负转折项，利用数列的单调性确定前n项和的最值． 类型2　等差数列前n项和性质的应用 【例2】　已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n，试求Sm＋n． [思路点拨]　利用等差数列的有关性质求解． [解]　法一：令Sn＝An2＋Bn，则 ⇒A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n． ∵n≠m，∴A(n＋m)＋B＝－1， ∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)． 法二：不妨设m＞n， Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am＝＝n－m． ∴a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2， ∴Sm＋n＝＝－(m＋n)． 法三：∵{an}是等差数列，∴为等差数列， ∴，，三点共线． ∴＝⇒Sm＋n＝－(m＋n)． 若数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，则： (1)数列是公差为的等差数列； (2)Sk，S2k－Sk，S