（讲义）第1章 §1 1.1 数列的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念 1．了解数列、通项公式的概念．(重点) 2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点) 1．通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养． 如果细心观察花菜、向日葵、菠萝等，你会发现这些事物似乎都与下面这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21…． 自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念． [提示]　略． 1．数列的有关概念 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项 数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也称首项，第n项an也叫数列的通项 数列的分类 按照项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列 2．通项公式 (1)数列的函数刻画 数列可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． (2)通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f (n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 两个数列相同的条件是什么？ [提示]　两个数列相同必须满足两个条件： (1)两个数列中的数相同； (2)各数的排列次序相同． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)相同的一组数，即使按不同顺序排列，也都表示同一个数列． (　　) (2)数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列． (　　) (3)8是数列{2n－1}的第4项． (　　) (4)数列1，，，，…的第5项一定是． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．数列，，，，…的一个通项公式是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ C　[观察前4项的特点易知an＝．] 3．数列的通项公式为an＝则＝________． 　[＝＝．] 4．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝1，求a16． [解]　由a8＝1，得8k－5＝1，解得k＝， ∴an＝n－5，∴a16＝×16－5＝7． 类型1　数列的有关概念 【例1】　下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，2，3可用集合表示为{1，2，3} B．数列1，0，－1与数列－1，0，1是相同数列 C．数列的第10项为－1 D．数列0，2，4，6，8，…，可记作{2n} [思路点拨]　紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件． C　[A中，{1，2，3}表示的是集合而不是数列； B中，虽然构成这两个数列的数相同，但它们的排列次序不同，所以它们不是相同数列； D中，数列{2n }不含数列0，2，4，6，8，…，的首项．故选C．] 1．数列的项是在这个数列中出现的某一确定的数，而项数是其在这个数列中的位置序号． 2．对于数列来说，十分强调顺序，每一项与正整数形成有序对应． [跟进训练] 1．下列说法中，正确的是(　　) A．任何数列都存在通项公式 B．数列与数列是相同数列 C．数列{n2}的通项公式是an＝n2 D．数列1，3，5，7，9，…的第n项是2n＋1 C　[有些数列不存在通项公式，故A错误； 数列是0，1，0，1，…，而数列是1，0，1，0，…，故B错误；C正确； 数列1，3，5，7，9，…的第n项是2n－1，故D错误．] 类型2　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例2】　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式： (1)1，3，7，15，31，…； (2)2，－，，－，，－，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)1，2，1，2，1，2，…． [思路点拨]　经过观察、分析，寻找每一项与项数的统一规律． [解]　(1)各项分别加上1，变为2，4，8，16，32，…，其通项公式为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1． (2)数列的符号规律是(－1)n＋1，使各项分子为4，变为，－，，－，…，再把各分母分别加1，又变为，－，，－，…，所以数列的通项公式是an＝． (3)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1，又变为10，100，1000，…，而这一数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝(10n－1)． (4)各项均减1得，0，1，0，1，…，所以an＝1＋，即an＝． 1．归纳通项公式应从以下五个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)项与序号之间的关系； (3)符号与绝对值分别考虑， 对