第一单元 圆柱与圆锥难点体系突破笔记-【教材解读】2024春六年级下册数学（北师大版)

& ２９　 练习一(教材第１３~１５页) 难点体系 等积变形问题 等积变形问题是形状变了体积不变的问题,如锻造、熔铸、捏橡皮泥、倒水等.解决 这类问题的关键是明确变形前后的形状以及体积计算方法,然后根据变形前后的体积 不变建立等量关系,列式计算或用方程解答. 【例１】(教材第１４页第９题)如图,圆柱形钢柱有多高? (单位:cm,结果保留整数) 探究过程 根据“V长方体＝abh”计算长方体钢坯的体积,即圆柱形钢柱的体积; 根据“h圆柱＝V圆柱÷S底”计算圆柱的高. 规范解答 　５０×２０×１０÷［３．１４×（２０÷２）２］ ＝１００００÷３１４ ≈３２（cm） 答：圆柱形钢柱高约３２cm。 上面已经学会了等积变形的解题思路,抓住关键词“铸造”“捏”等,得出变化前后体 积相等.下面我们利用这个思路来继续研究其他等积变形问题. 倒一倒,水量没改变 【例２】(教材第１４页第８题)如图,先将甲容器注满水,再将水倒入乙容器,这时乙容器 中的水有多高? ３０　 探究过程 由图可知甲、乙两个容器的底面积和高都是相等的,所以甲容器的体积是乙容器体 积的 １ ３ ,这样甲容器的水注入乙容器后,高度只占乙容器的１ ３ . 规范解答 １２× １ ３＝４ （cm） 答：这时乙容器中的水有４cm高。 捏一捏,圆柱变圆锥 【例３】(教材第１２页第６题)一个圆柱形橡皮泥,底面积是１２cm２,高是５cm. (１)如果把它捏成同样底面大小的圆锥,这个圆锥的高是多少? (２)如果把它捏成同样高的圆锥,这个圆锥的底面积是多少? 探究过程 (１) 　　　　　　　(２) 规范解答 （１）５×３＝１５（cm） 答：这个圆锥的高是１５cm。 （２）１２×３＝３６（cm２） 答：这个圆锥的底面积是３６cm２。 转一转,体积变规则 【例４】一瓶饮料,莹莹喝了一些后剩下的部分高１２cm,把瓶盖拧紧后倒置放平,无饮料 部分高８cm,如图.这个瓶子的容积是多少毫升? & ３１　 探究过程 规范解答 方法一： 　３．１４×（６÷２）２×１２＋３．１４×（６÷ ２）２×８ ＝２８．２６×１２＋２８．２６×８ ＝３３９．１２＋２２６．０８ ＝５６５．２（cm３） ＝５６５．２（mL） 方法二： 　３．１４×（６÷２）２×（１２＋８） ＝２８．２６×２０ ＝５６５．２（cm３） ＝５６５．２（mL） 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　答：这个瓶子的容积是５６５．２mL。 １．解决等积变形问题的关键是理解形状变化前后物体的体积不变,先求不变的 体积,再根据对应图形的体积公式计算相应的要求的量. ２．圆柱与圆锥的互化是等积变形问题中非常常见的一类题,解题的关键是牢记: 若圆柱和圆锥的体积与高分别相等,则它们的底面积之间的关系是S圆锥＝ ３S圆柱;若圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等,则它们的高之间的关系是 h圆锥＝３h圆柱.