（练习）课时分层作业24 余弦定理与正弦定理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二十四)余弦定理与正弦定理的应用 一、选择题 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° B　[根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故选B． ] 2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　) A．c和α B．c和b C．c和β D．b和α D　[b在岸上比较好测量，α和β任选其一测量即可．] 3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A． n mile/h B．34 n mile/h C． n mile/h D．34 n mile/h A　[如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝(n mile/h).故选A.] 4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m C　[如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60. ∴AB＝OA－OB＝40.故选C.] 5．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为(　　) A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km B　[如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36. ∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B．] 二、填空题 6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km. 7　[如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.则A，C两地的距离为7 km.] 7．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 22.6　[由题意，AB＝200 m，AC＝100 m， 由余弦定理可得 BC＝≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s).] 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．(附sin2α＋cos2α＝1) 21　[设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里， 所以cosC＝＝＝＝， 所以sin C＝， 故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米).] 三、解答题 9．三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到高大障碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，由于实际情况，Rt△ABC的边和角无法测量，以下为可测量数据：①BD＝2；②CD＝＋1；③∠BDC＝；④∠BCD＝.以上可测量数据中至少需要几个可以推算出Rt△ABC的面积？请选择一组并写出推算过程．(参考数据：tan ＝2＋，sin ＝) [解]　至少需要三个可测量数据， 选择组合①③④→或②③④. 在△BCD中，∵＝＝， ∴BC＝，∵tan ∠ABC＝tan ＝2＋，∠ACB＝， ∴AC＝BC·tan ∠ABC＝2＋. 故S△ABC＝AC·BC＝2＋. 选择组合二：①②③. 在△BCD中，∵BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos ∠BDC＝2， ∴BC＝，∵＝＝， 可求得∠BCD＝，∠CBD＝， ∵tan ∠ABC＝t