（练习）课时分层作业23 用余弦定理、正弦定理解三角形-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二十三)用余弦定理、正弦定理解三角形 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A＋b sin B<c sin C，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 C　[根据正弦定理可得a2＋b2<c2. 由余弦定理得cos C＝<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形．] 2．△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 B　[∵a sin B＝，∴a sin B<b＝<a＝， ∴符合条件的三角形有2个．] 3．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75° B．60° C．45° D．30° B　[S△ABC＝×3×4sin C＝3，∴sin C＝. ∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.] 4．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A． B． C． D． B　[∵a＞b＞c，∴C为最小角，由余弦定理得 cos C＝＝＝， ∴C＝.] 5．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　) A． B． C． D．－ C　[由余弦定理知cos C＝＝＝≥＝，故选C.] 二、填空题 6．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________ . 2或　[sin C＝＝，于是C＝60°或120°，故A＝90°或30°， 由S△ABC＝AB·AC·sin A，可得答案为2或.] 7．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________． 　[作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin 60°＝.] 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________． －　[由2sin B＝3sin C，得2b＝3c，代入到b－c＝a，可得a∶b∶c＝4∶3∶2，不妨设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则cos A＝＝＝－.] 三、解答题 9．已知△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝. (1)求·； (2)若c－b＝1，求a的值． [解]　(1)在△ABC中，cos A＝， ∴A为锐角，且sin A＝， ∴S△ABC＝bc sin A＝bc·＝30， ∴bc＝156.∴·＝||||·cos A＝bc cos A＝156×＝144. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25.∴a＝5. 10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝，求其角平分线AD的长． [解]　由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝， 又∠BAC∈， ∴∠BAC＝.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴bc sin ∠BAC＝b×AD×sin ∠CAD＋c×AD×sin ∠BAD， 即×5×6×sin ＝×5×AD×sin ＋×6×AD×sin ， ∴＝＋，解得AD＝. 11．已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，那么角C的大小为(　　) A． B． C． D． C　[由正弦定理及题意得，a2－c2＝ab－b2， ∴cos C＝＝， ∵0<C<π，∴C＝.] 12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则C＝(　　) A． B． C． D． 或 B　[由b2＝a2＋bc可得：a2＝b2－bc， ∵a2＝b2＋c2－2bc cos A， ∴b2－bc＝b2＋c2－2bc cos A，∴c＝b. 代入到b2＝a2＋bc，可得：a2＝b2－b2， ∴a＝b＝b＝b， ∴a∶b∶c＝∶1∶－1， ∴cos C＝＝＝， ∴C＝.] 13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是________． 　[法一：由条件知b sin A<a， 即2sin A<2，∴sin A<， ∵a<b，∴A<B， ∴A为锐角，∴0<A<. 法二：如图，AC＝2，以C为圆