（练习）课时分层作业22 正弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二十二)正弦定理 一、选择题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　) A． B． C． D． A　[根据正弦定理得＝＝.故选A.] 2．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B．] 3．(多选题)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° AC　[由正弦定理可知＝， ∴sin B＝＝＝. ∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.] 4．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　[根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，即tan B＝1，又因0°＜B＜180°，所以B＝45°，故选B．] 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝b sin A，则sin B＝(　　) A． B． C． D．－ B　[由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，所以sin A＝sin B sin A，故sin B＝.] 二、填空题 6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________. 2　[由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.] 7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________． 　[由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°. 由正弦定理，得c＝＝＝.] 8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________． 　[∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π， ∴B＝， ∴由正弦定理＝， 得＝. ∴sin A＝.] 三、解答题 9．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求角A的大小； (2)求的值． [解]　(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc， ∴cos A＝＝＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)由b2＝ac，得＝， ∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝. 10．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，b＝，求c的值． [解]　(1)由a cos C＋c＝b， 得sin A cos C＋sin C＝sin B． 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin C＝cos A sin C． 因为sin C≠0，所以cos A＝. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由正弦定理，得sin B＝＝. 所以B＝或. ①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2； ②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1. 综上可得c＝1或2. 11．(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B．在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0，)，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin (－B)＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，根据余弦定理得a·＝b·，化简得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又因为B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D．] 12．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝(　　) A． B．2 C．4 D．2 C　[根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a， ∵△ABC的周长为4(＋1)， ∴解得a＝4.故选C.] 13．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则