（练习）课时分层作业21 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二十一)余弦定理 一、选择题 1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　[∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得， cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.] 2．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　　　 B． C． D．3 D　[由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B， 得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D．] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 C　[由＞0得－cos C＞0，所以cos C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．故选C.] 4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　[由余弦定理， 得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.] 5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　) A． B．8－4 C．1 D． A　[依题意 两式相减整理得ab＝.故选A.] 二、填空题 6．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于________. 2　[b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2.] 7．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________． 　[∵cos C＝＝， ∴sin C＝，∴AD＝AC sin C＝.] 8．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________． 120°　[∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)， ∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc. ∴cos A＝＝＝－. ∵0°＜A＜180°， ∴A＝120°.] 三、解答题 9．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长． [解]　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0， ∴x1＝，x2＝－2(舍去). ∴cos C＝. 根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×＝16. ∴c＝4，即第三边c的长为4. 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b－c＝2，cos B＝－，求b，c的值． [解]　∵a＝3，b－c＝2，cos B＝－， ∴由余弦定理， 得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋(b－2)2－2×3×(b－2)×(－)， ∴b＝7，∴c＝b－2＝5. 11．(多选题)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．4 B．8 C．4或6 D．无解 AB　[由3a＝b＝12， 得a＝4，b＝4， 利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即16＝48＋c2－12c， 解得c＝4或c＝8.] 12．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为(　　) A．79 B．69 C．5 D．－5 D　[由余弦定理得： cos ∠ABC＝＝＝. 因为向量与的夹角为180°－∠ABC， 所以·＝||||·cos (180°－∠ABC)＝5×7×(－)＝－5.故选D．] 13．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________． 4　[由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－)，解得b＝4.] 14．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos ∠MAC＝________． 2　　[法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4.因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos ∠B＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝. 法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D