（练习）课时分层作业25 平面向量在几何、物理中的应用举例-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二十五)平面向量在几何、物理中的应用举例 一、选择题 1．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C三点共线 B．⊥ C．A，B，C是等腰三角形的顶点 D．A，B，C是钝角三角形的顶点 D　[因为＝(－2，0)，＝(2，4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．] 2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 D　[由题可知∥，||＝||， 所以四边形ABCD是平行四边形，又⊥， 故四边形为菱形．] 3．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　) A．2 B． C．－3 D．－ C　[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝， ∴＝3，∴＝－3. ∴λ＝－3.] 4．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 B　[∵·＝·， ∴(－)·＝·＝0， ∴⊥. 同理可证⊥，⊥， ∴O是垂心．] 5．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 D　[如图，取AB的中点E，连接OE，则＋＝2. 又＋＋＝0， 所以＝－2.又O为公共点， 所以O，C，E三点共线， 且||＝2||. 所以O为△ABC的重心．] 二、填空题 6．已知作用在A(1，1)点的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________． (9，1)[F＝F1＋F2＋F3＝(8，0). 又∵起点坐标为A(1，1)，∴终点坐标为(9，1).] 7．河水从东向西流，流速为2 km/h，一艘船以2 km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是________km/h. 4　[由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度， 则表示船的实际速度． 则||＝2，||＝2，∠AOB＝90°， ∴||＝4. ∴船航行的实际速度为4 km/h.] 8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________． －　[如图所示，＝(＋)，＝－＝－， ∴·＝(＋)·＝2－2－·＝－－cos 60°＝－.] 三、解答题 9．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°. [解]　如图，建立平面直角坐标系，则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)，设P(0，y)， ∴＝(1，3)，＝(－1，y)， ∴||＝，||＝，·＝3y－1， 代入cos 45°＝ ＝＝. 解得y＝－(舍)或y＝2， ∴点P在靠近点A的AO的三等分处． 10．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1). (1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状； (2)若M为BC边的中点，求||. [解]　(1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)， ·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. 所以⊥，即∠A＝90°. 因为||＝||， 所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°. (2)因为M为BC中点，所以M(2，0). 又A(1，2)，所以＝(1，－2)， 所以||＝＝. 11．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为360 N，该学生的体重(单位：kg)约为(　　) (参考数据：取重力加速度大小g≈10 m/s2，≈1.732) A．64　 B．62　 C．76　 D．60 B　[设两只胳膊的拉力分别为f1，f2，且|f1|＝|f2|＝360，〈f1，f2〉＝60°， ∴|f1＋f2|＝＝＝＝360≈624(N)， ∴mg≈624，∴m≈62.故选B.] 12．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 B　[∵|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，∴|－|＝|＋|， 设＋＝， ∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°. ∴△ABC是直角三角形．] 13．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________． 2　[因为＝－＝－， 所以2＝＝2－·＋2， 又2＝||2＝5，·＝5， 所以2＝1，所以||＝2，即AC＝2.] 14