（练习）课时分层作业20 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(二十)向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度与角度 一、选择题 1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　) A．3 B．－3 C． D．－ A　[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.] 2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° D　[cos θ＝＝－，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.] 3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．2 D．10 B　[∵向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则有2x－4＝0，－4－2y＝0，解得x＝2，y＝－2，故a＋b＝(3，－1)，故有|a＋b|＝＝，故选B．] 4．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 B　[因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.] 5．(多选题)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　) A．|a＋b|＝2 B．a与b垂直 C．a与a－b的夹角为 D．|a－b|＝1 BC　[由a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝，所以A选项错误；因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，π]，所以a与a－b的夹角为，所以C选项正确．故选BC.] 二、填空题 6．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________． 　[法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝. 法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.] 7．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影数量是________． 　[a·b＝13，|b|＝， |a|cos θ＝＝＝＝.] 8．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________． 8　[∵a＝(2，4)，b＝(－1，2)， ∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b， ∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝8.] 三、解答题 9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． [解]　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝， ∴cos θ＝＝＝. (2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)， ∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝. 10．在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15). (1)求||，||； (2)求∠OAB． [解]　(1)由＝(16，12)，＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)， 得||＝＝20， ||＝＝15. (2)cos ∠OAB＝. 其中·＝－·＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， 故cos ∠OAB＝＝. ∴∠OAB＝45°. 11．设A(a，1)、B(2，b)、C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影数量相同，则a与b满足的关系式为(　　) A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3 C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14 A　[依定义知，＝， ∴·－·＝0，∴·＝0， ∴4(a－2)＋5(1－b)＝0，即4a－5b＝3.] 12．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 A　[∵＝(1，1)，＝(－3，3)， ∴·＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴⊥，∴∠BAC＝90°.即