（讲义）第2章 §6 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 1．能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题．(重点) 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题．(难点) 通过平面向量的应用，培养逻辑推理及数学建模素养． 勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，无论是平民百姓，还是帝王总统都愿意探讨和研究它的证明． 图①　　　　　　　　图② 图③　　　　　图④ 图①是传说中毕达哥拉斯的证法，图②是赵爽弦图的证法，图③是刘徽的证法，图④是美国总统加菲尔德的证法． 阅读教材，回答下列问题． 问题1：类比上述勾股定理的证明，如何证明“矩形两条对角线的平方和，等于四条边的平方和”？ 问题2：如何用向量法证明平面几何问题？ 知识点　用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 1.你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？ [提示]　关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决． 2.利用向量可以解决哪些物理问题？ [提示]　利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则． (　　) (2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0. (　　) (3)若向量∥，则AB∥CD． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　向量在平面几何中的应用 【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [证明]　法一(基向量法)：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥， 即AF⊥DE. 法二(坐标法)：建立平面直角坐标系，如图，设正方形的边长为2， 则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)， 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥， 即AF⊥DE. 用向量解平面几何问题的方法 (1)基向量法：选择两个不共线的向量作为基，用基表示有关向量，把问题转化为只含有基向量的运算． (2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算． [跟进训练] 1．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. [解]　法一(基向量法)：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45° ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. 所以⊥，即DP⊥EF. 法二(坐标法)：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)， 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 类型2　向量在解决物理问题中的应用 【例2】　在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． [解]　设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b. 如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形． 过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点． 由已知，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°. 在Rt△COD中，OD＝OC cos 45°＝75，CD＝75. 又ED＝BC＝OA＝75(－)， ∴OE＝OD＋ED＝75.又BE＝CD＝75. 在Rt△OEB中，OB＝＝150， sin ∠BOE＝＝， ∴||＝150，∠BOE＝30°. 故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°. 1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量的平行四边形法则和三角形法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一． [跟进训练] 2．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告