（讲义）第2章 §6 6.1 第4课时 余弦定理与正弦定理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

第4课时　余弦定理与正弦定理的应用 1．掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点) 2．了解测量的方法和意义．(难点) 3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点) 通过余弦定理与正弦定理的应用，培养数学运算与数学建模素养． 已知A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足． 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：试画出符合题意的示意图． 问题2：若要求山高CD，怎样求解？ 知识点　实际问题中的有关术语率 名称 定义 图示 仰角与俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？ [提示]　南偏西60°. 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是. (　　) (2)在O点测得点A在其北偏西30°，则在O点测得点A的方位角是30°. (　　) (3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　测量距离问题 【例1】　某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离(参考数据：sin 75°＝). [解]　∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝a. 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理＝， 得BD＝CD·＝a·＝a×＝a·＝a. 在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos ∠ADB＝a2＋(a)2－2·a·a·＝a2，∴AB＝ km. 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB [跟进训练] 1．(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10海里 B．海里 C．5海里 D．5海里 (2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，AB＝120 m，则河的宽度是________m． (1)D　(2)30　[(1)如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里).故选D． (2)tan 30°＝，tan 60°＝， 又∵AD＋DB＝120， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 60°， ∴AD＝90，故CD＝30.] 类型2　测量高度问题 【例2】　如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB． 利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解． [解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h. 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD ，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·， 所以h2＝2002， 解得h＝200(h＝－200舍去)， 所以塔高AB＝200米． 1．本题与立体几何有关，解决的关键是准确作出空间图形． 2．准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角等，建立相应的数学模型，将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过