（讲义）第2章 §6 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 1．熟练掌握正弦、余弦定理及其变形．(重点) 2．能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．(难点) 通过余弦、正弦定理及其变形的应用，培养数学运算及逻辑推理素养． 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m，88 m，127 m，则这个区域的面积是多少？(精确到0.1 m2) 知识点　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高). (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高ha，hb，hc怎样用对应的边和角表示？ [提示]　在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么ha＝b sin C＝c sin B，hb＝c sin A＝a sin C，hc＝a sin B＝b sin A． 已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　) A．18 B．9 C．18 D．9 B　[由已知，得C＝180°－A－B＝30°， ∴A＝C，∴BC＝AB＝6， ∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×6×6×sin 120°＝9.] 类型1　三角形中的几何计算 【例1】　在△ABC中，已知AB＝，cos ∠ABC＝，AC边上的中线BD＝，求sin A的值． [解]　如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝. ∵cos ∠ABC＝， ∴cos ∠BED＝－. 设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理， 可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos ∠BED，即5＝x2＋＋2××x. 解得x＝1或x＝－(舍去)，故BC＝2. 在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝，即AC＝. 又sin ∠ABC＝＝， ∴＝，∴sin A＝. 解决此类问题的着眼点：(1)找出已知边长或角的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段或角所在的三角形，确定所需条件． 提醒：构造三角形时，要注意使构造的三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算． [跟进训练] 1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，求其中线AD的长． [解]　在△ACD中，由余弦定理，得a2＋AD2－a×AD×cos ∠ADC＝b2， 在△ABD中，由余弦定理，得a2＋AD2－a×AD×cos ∠ADB＝c2， 两式相加得，a2＋2AD2－a×AD(cos ∠ADC＋cos ∠ADB)＝b2＋c2， 因为cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝cos ＋cos ∠ADB＝－cos ∠ADB＋cos ∠ADB＝0， 所以a2＋2AD2＝b2＋c2，所以AD＝. 类型2　三角形的面积问题 【例2】　在△ABC中，＝，＝，求证：S△ABC＝. [证明]　S△ABC＝||||sin A ＝|||| ＝ ＝ ＝ ＝ ＝|x1y2－x2y1|. 三角形面积计算公式 (1)S＝aha(ha为a边上的高)； (2)S＝ab sin C＝＝2R2sin A sin B sin C(R为外接圆的半径)； (3)S＝(a＋b＋c)r(r为内切圆的半径)； (4)S＝(s为三角形周长的一半). [跟进训练] 2．已知△ABC中，·<0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝(　　) A．30° B．120° C．150° D．30°或150° C　[由S△ABC＝，得×3×5sin ∠BAC＝， ∴sin ∠BAC＝，又由·<0，得∠BAC>90°， ∴∠BAC＝150°.] 类型3　正、余弦定理的综合应用 【例3】　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，求△ABC面积的最大值． 1．在△ABC中，如何利用正弦定理进行边角转化？ [提示]　(1)边转化为角：a＝2R sin A；(2)角转化为边：sin A＝. 2．在△ABC中，利用余弦定理解三角形时，有什么变形技巧？ [提示]　常用的变形技巧是整体代换，例如 (1)a2＋b2－c2＝2ab cos C； (2)a2＝－2bc，此公式在已知b±c和bc的情况下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的关系． [解]　由cos C＝＝，得sin C＝， 由外接圆半径R＝及sin C可得：c＝2R sin C＝4， 所以a2＋b2＝16＋ab，而a2＋b2≥2ab， 所以有16＋ab≥2ab⇒ab