（讲义）第2章 §6 6.1 第2课时 正弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

第2课时　正弦定理 1．通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理并了解其向量证法(难点). 2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点). 1．通过正弦定理的证明，培养逻辑推理素养． 2．通过正弦定理的应用，培养数学运算素养． 古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD．古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？ 知识点　正弦定理 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 符号表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R_sin_A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝． 作用 实现三角形边与角的互化． 1．利用正弦定理可以解决哪两类三角形问题？ [提示]　(1)已知两边和一角，求第三边和其他两角；(2)已知两角和一边，求第三个角和其他两边． 2．在△ABC中，“A＞B”⇔“sin A＞sin B”吗？ [提示]　在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔＞⇔sin A＞sin B． 在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　) A．　　　 B． C．　　 D． C　[由正弦定理知＝.] 类型1　已知两角及一边解三角形 【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b. [解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由＝得，b＝＝＝＝4.所以A＝45°，b＝4. 已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． [跟进训练] 1．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a和B． [解]　 ∵＝， ∴a＝＝＝10. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 类型2　已知两边及其中一边的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，且sin 15°＝，cos 15°＝，解三角形． [解]　∵＝， ∴sin C＝＝＝， ∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝， 由已知cos 15°＝sin 75°＝， ∴b＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°， b＝＝， 由已知sin 15°＝， ∴b＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. [母题探究] 1．(变条件、变设问)若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，其他条件不变，则角A有几个值？ [解]　∵＝， ∴sin A＝＝＝. ∵c＝＞2＝a，∴C＞A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 2．(变设问)本例条件不变，试求△ABC的外接圆半径． [解]　∵＝2R， ∴R＝＝＝. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [跟进训练] 2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a. (参考数据：sin 75°＝，sin 15°＝ ) [解]　由正弦定理得sin C＝＝＝， ∵c>b，0°<C<180°， ∴C＝45°或135°. 当C＝45°时，A＝105°， a＝＝＝＋1， 当C＝135°时，A＝15°， a＝＝＝－1. 类型3　正、余弦定理的简单综合应用 【例3】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B． (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解]　(1)∵b sin A＝a cos B， 由正弦定理得sin B sin A＝sin A cos B． 在△ABC中，sin A≠0， 即得tan B＝，∴B＝. (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ， 解得a＝，∴c＝2a＝2. 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的