（讲义）第2章 §6 6.1 第1课时 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§6　平面向量的应用 6.1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 1．通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现余弦定理，并了解其向量证法．(难点) 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点) 1．通过余弦定理的证明，培养逻辑推理素养． 2．通过余弦定理的应用，培养数学运算素养． 当火山爆发时，要测算火山山脚的长度，测量人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC，即线段BC的张角，你是否知道如何计算山脚的长度BC？ 知识点　余弦定理 语言表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 1．利用余弦定理可以解决哪两类三角形问题？ [提示]　(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 2．在△ABC中，“A>90°”⇔“a2>b2＋c2”吗？ [提示]　在△ABC中，A＞90°⇔cos A<0⇔<0⇔a2>b2＋c2. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (　　) (2)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形． (　　) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，则∠A的度数是(　　) A．30° B．45° C． 60° D．75° A　[∵cos A＝＝， 又A∈(0°，180°)，∴A＝30°.] 类型1　已知两边及一角解三角形 【例1】　(1)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________，cos A＝________； (2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________． (1)2　　(2)4或5　[(1)根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2. 由a＝1，b＝2，c＝2， 得cos A＝＝. (2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.] 已知两边及—角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解； (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [跟进训练] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c＝(　　) A．4　　　　 B．　　　 C．3　　　　 D． D　[cos C＝－cos (A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×(－)＝17，所以c＝.故选D．] 类型2　已知三边解三角形 【例2】　在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝＋，求角A，B，C. [解]　cos A＝ ＝＝， ∵0°＜A＜180°， ∴A＝60°， cos B＝ ＝＝， ∵0°＜B＜180°， ∴B＝45°， ∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°. [母题探究] 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． [解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝＝， ∵0°＜A＜180°，∴A＝45°. cos B＝＝＝， ∵0°＜B＜180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [跟进训练] 2．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° C　[∵c＞a＞b，∴C是最大角， 由余弦定理得，cos C＝＝＝－.又0°＜C＜180°，∴C＝120°.] 类型3　余弦定理的综合应用 【例3】　(1)在△ABC中，若a cos A＋b cos B＝c cos C，则△ABC的形状为________； (2)在△ABC中，已知A＝，a，b，c分别是角A，B，C