（讲义）第2章 §5 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

5.2　向量数量积的坐标表示 5.3　利用数量积计算长度与角度 1．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(重点) 2．能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系．(难点) 通过平面向量数量积的应用，培养数学运算与逻辑推理素养． “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？ 阅读教材，回答下列问题． 问题1：平面向量的数量积(内积)的定义是什么？ 问题2：向量a与b垂直的条件是什么？ 问题3：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何计算a与b的数量积？ 知识点1　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 1．已知向量a＝(－4，7)，向量b＝(5，2)，则a·b的值是(　　) A．34　 B．27 C．－43 D．－6 D　[a·b＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－6.] 知识点2　平面直角坐标系中两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1). 则|a|＝＝. 如何利用向量知识与方法推导平面直角坐标系中两点间的距离公式？ [提示]　＝＝. 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则θ一定是钝角． (　　) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. (　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 类型1　平面向量数量积的坐标运算 【例1】　已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解]　(1)设a＝λb＝(λ，2λ). ∵a·b＝10， ∴λ·cos 0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2，4). (2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0. 数量积的坐标运算方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [跟进训练] 1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b). [解]　(1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5. (2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25. (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5. 类型2　向量的夹角 【例2】　已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围． (1)a与b的夹角为90°； (2)a与b的夹角为锐角． 由向量的夹角公式，可转化判定a·b的符号． [解]　(1)a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ. ∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－. (2)∵a与b的夹角为锐角，∴a·b>0且a与b不同向． 因此1＋2λ>0，∴λ>－. 又∵a与b共线且同向时，λ＝2. ∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪(2，＋∞). [母题探究] 若本例条件不变，如何求a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围？ [解]　∵a与b的夹角θ为钝角， ∴cos θ<0且cos θ≠－1， ∴a·b<0且a与b不反向． 由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－， 由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，所以λ的取值范围为. 利用数量积求两向量夹角的步骤 [跟进训练] 2．设向量＝(1，0)，＝(1，1)，则向量，的夹角为(　　) A． B． C． D． B　[cos θ＝＝＝， ∵θ∈，∴θ＝.] 类型3　向量的模 【例3】　设平面向量a＝(1，1)，b＝(0，2). 求a－2b的坐标和模的大小． [解]　∵a＝(1，1)，b＝(0，2)， ∴a－2b＝(1，1)－2(0，2)＝(1，－3)， ∴|a－2b|＝＝. [母题探究] 在本例条件不变的情况下，若|ka－b|＝，求k的值． [解]　∵ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2)，且|ka－b|＝， ∴＝， 解得k＝3或k＝－1.即当k＝3或k＝－1时满足条件． 1．已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|